MATE 2. Semana del 24 de febrero al 6 marzo del 2020

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EJE:	Número, álgebra y variación
TEMA:	Funciones
SECUENCIA:	14. Variación lineal y proporcionalidad inversa
LECCIÓN:	1. Situaciones de variación lineal
APRENDIZAJES ESPERADOS:	• Analiza y compara situaciones de variación lineal y proporcionalidad inversa, a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica. Interpreta y resuelve problemas que se modelan con este tipo de variación, incluyendo fenómenos de la física y otros contextos.

Imagina que estás en el centro de la ciudad de noche, sin transporte y con solo $ 8 en tus bolsillos, tu casa está a 6 km. Hay solo dos compañías de taxi en esa área; una cobra $ 1, 20 un kilómetro con un recargo adicional de $ 1 y la otra cobra $ 0, 90 el kilómetro con un recargo adicional de $ 2, 50. ¿Cuál de los dos taxis puede pagar?

Cómo graficar una ecuación lineal

Vamos a ver  formas de graficar una función a partir de una fórmula. Una fórmula es una forma de escribir la relación que hay entre las dos cantidades que estemos graficando. En matemáticas, tendemos a usar las palabras fórmula y ecuación para describir las reglas que obtenemos cuando expresamos relaciones algebraicamente. Saber interpretar y graficar estas ecuaciones es una habilidad importante que usarás con frecuencia en matemáticas.

Ejemplo A

El precio de un taxi depende de la distancia viajada. Los taxis por lo general cobran una cantidad de dinero adicional al costo por kilómetro para cubrir el gasto por tomar el taxi. En este caso, el taxi cobra una tarifa fija de $ 3 y $ 0,8 por kilómetro recorrido. La ecuación para representar la relación entre el precio en dólares por tomar el taxi y la distancia recorrida en kilómetros es la siguiente:( y)( x ) .

y= 0.8 x + 3

Haz el gráfico de la ecuación y úsalo para calcular el costo de un viaje de 7 kilómetros.

Solución

Comenzamos a crear una tabla de valores. Tomares algunos valores para (0, 1, 2, 3 y 4), encuentra los valores correspondientes de , luego márcalos en el gráfico. Ya que nos piden calcular el precio para un viaje de siete kilómetros, podemos elegir una escala acorde. 

Primero, aquí está nuestra tabla de valores:

X	y
0 0	3
1	3.8
2	4.6
3	5.4
4	6.2

Y aquí está nuestro gráfico:

Para calcular cuánto cuesta un viaje de siete kilómetros, imprimamos en el eje horizontal y trazamos una línea hacia arriba en nuestro gráfico. A continuación, trazamos una línea horizontal hacia el eje y nos fijamos en qué punto lo corta. Parece cortar en un punto al medio entre y . Digamos que es 8,5.                                                             x = 7
y= 8.5

Un viaje de siete kilómetros costaría aproximadamente $ 8,50 ($ 8,60 exactamente).

Algunas consideraciones que deberíamos tener en cuenta respecto a este gráfico y la fórmula generada a partir de él:

• El gráfico es una línea recta (esto significa que la ecuación es lineal ), aunque la función es discreta y consiste únicamente de una serie de puntos.
• El gráfico corta al eje en 3 (puedes ver que en la ecuación hay un término 3, no se trata de una coincidencia). Se trata del costo base de un taxi. 
  
• Cada vez que avanza un cuadrado a la derecha nos movemos hacia arriba 0.8 cuadrados (se trata también del coeficiente de x en la ecuación). Esta es la tarifa que cobra el taxi (precio por km). 
  
• Si nos movemos tres cuadros a la derecha, nos movemos  3 x 0.8 cuadros. 3 × 0.8

Ejemplo B

Un negocio pequeño tiene una deuda de $ 500,000 por gastos de inversión. Se cree que la deuda puede pagar una tasa de $ 85,000 por año de acuerdo a la siguiente ecuación, donde   X     son los años en el negocio y la deuda en pesos es( y) .

y= - 85 x + 500

Grafica esta ecuación y usa el gráfico para predecir cuándo se pagará la deuda totalmente.

Solución

Primero, comenzamos con nuestra tabla de valores:

X	y
0	500
1	415
2	330
3	245
4	160

A continuación, graficamos nuestros puntos y trazamos la línea que pasa a través de ellos:

Fíjate en la escala que hemos seleccionado. No es necesario incluir más puntos más allá de   y = 500, sin embargo, conviene tener espacio extra. 

A continuación, calculamos cuántos años pasarán hasta pagar la deuda, o en otras palabras, Cuál es el valor de que hará al valor de y igual a 0. Sabemos que necesitamos una escala para que x  vaya más allá de 4 . En este caso, hemos decidido mostrar los valores de desde 0 a 12

Para leer en qué momento la deuda estará pagada, simplemente leemos el punto donde la línea se encuentra con (el eje x). Parece que la línea corta el eje x en 6. Quiere decir que la deuda será saldada en seis años, donde y = 0, es decir, ya no existe deuda.
x = 6

Ejemplo C

A continuación se encuentra un gráfico para convertir los precios de la tienda en precios que incluyen el impuesto a la venta. Usa el gráfico para calcular el costo que incluye el impuesto a la venta de un lápiz que vale $ 6 en la tienda.

Para encontrar el precio con impuesto, primero encuentra el precio correcto antes del impuesto en el eje x . Este es el punto donde    x = 6 .

Traza la línea desde x = 6 hacia arriba hasta que se cruza con la función (con la recta), a continuación traza una línea horizontal hacia el eje y- Esta línea corta al eje en y≈ 6.75 (alrededor de tres cuartos de camino entre y= 6 y  y= 7 )

El precio aproximado con el impuesto incluido es de $ 6,75.

Ejemplo D

A continuación se muestra el gráfico para convertir la temperatura de Fahrenheit a Celsius. Usa el gráfico para realizar las siguientes conversaciones:

 70∘ Fahrenheit a Celsius

 0 ∘ Celsius a Fahrenheit

Solución:

a) Para encontrar los 70∘ Fahrenheit, observamos a lo largo del eje Fahrenheit (en otras palabras en el eje x - ) y trazamos una línea desde x = 70 hacia arriba hasta intersectar a la función ( la recta). A continuación, trazamos una línea horizontal hacia el eje de los grados Celsius (ejey-) La línea horizontal se encuentra con el eje un poco más arriba de 20 (21 o 22).

70∘ Fahrenheit equivalen aproximadamente a 21∘ Celsius.

b) Para encontrar los 0 ∘ Celsius, nos fijamos en el eje de los grados Fahrenheit (la línea o recta donde y= 0) La función corta al ejex - aproximadamente en el número 30.

0 ∘Celsius equivalente a 32∘ Fahrenheit exactamente

E. 

INTERPRETACIÓN DE SITUACIONES PROBLEMÁTICAS

Juan el taxista    

En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas: $20 por bajada de bandera y $ 7 por Km. recorrido. se pide:

• a ) Determinar el precio de un viaje de:  1km, 2km, 3km, 4km y 5km (tabular)
• b ) Obtener el precio p del viaje en función del número x de kilómetros recorridos. (Fórmula)
•  c )Obtener el precio que le corresponde a un viaje de 8,5 km
• d ) Cuántos km se recorrió en un viaje que costó  $65,5
• e ) Ubica en ejes cada uno de los pares ordenados de valores que se corresponde