MATE 1. Semana del 16 al 20 marzo 2020
BLOQUE :
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EJE:
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Análisis de datos
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TEMA:
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Estadística
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SUBTEMAS:
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22. Media aritmética, mediana y rango de un conjunto de datos
23. Elegir la medida de tendencia central. |
APRENDIZAJES ESPERADOS
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Usa e interpreta las medidas de tendencia central (moda, media aritmética y mediana) y el rango de un conjunto de datos y decide cuál de ellas conviene más en el análisis de los datos en cuestión.
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Media, moda, mediana, rango
1- Media aritmética
La media aritmética es la suma de todos los datos dividida entre el número total de datos. Se calculan dependiendo de cómo vengan ordenados los datos.
Ejemplo:
¿Cuál es la media de las edades de Andrea y sus primos?
La media aritmética de un grupo de datos se calcula así:
Se debe multiplicar cada dato con su respectiva frecuencia, sumar todos estos productos, y el resultado dividirlo por la suma de los datos.
Ejemplo:
Se ha anotado el número de hermanos que tiene un grupo de amigos. Los datos obtenidos son los siguientes:
Hermanos: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4
Si hacemos el recuento de los datos y seguimos los pasos anteriormente descritos, tenemos:
2- Moda
La moda de un conjunto de datos es el dato que más veces se repite, es decir, aquel que tiene mayor frecuencia absoluta. Se denota por Mo. En caso de existir dos valores de la variable que tengan la mayor frecuencia absoluta, habría dos modas. Si no se repite ningún valor, no existe moda.
- Ejemplo1:
¿Cuál es el dato que más se repite en el ejemplo anterior?
El dato que más se repite es el 1, es el que tiene mayor frecuencia absoluta (4 veces).
La moda del número de hermanos es 1
- Ejemplo 2:
2, 3, 4, 5 , 6 , 9
En este conjunto de datos no existe ningún valor que se repita, por lo tanto, este conjunto de valores no tiene moda.
- Ejemplo 3:
1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9 Mo= 1, 5, 9
Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas.
- Ejemplo 4:
0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8 Mo = 4
Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es el promedio de las dos puntuaciones adyacentes.
3- La mediana
La mediana es el valor que ocupa el lugar central entre todos los valores del conjunto de datos, cuando estos están ordenados en forma creciente o decreciente.
La mediana se representa por Me.
Calculo de la mediana:
1° Ordenamos los datos de menor a mayor.
- La mediana de un conjunto con un número impar de datos es, una vez ordenados los datos, el dato que ocupa el lugar central.
Ejemplo:
Calcular la mediana del conjunto de datos:
- También podemos usar la siguiente fórmula para determinar la posición del dato central:
(n + 1) /2 = mediana datos impares.
- La mediana de un conjunto con un número par de datos es, una vez ordenados, la media de los dos datos centrales.
Ejemplo:
Calcular la mediana del conjunto de datos:
4- Rango
El rango da la idea de proximidad de los datos a la media. Se calcula restando el dato menor al dato mayor.
Este dato permite obtener una idea de la dispersión de los datos, cuanto mayor es el rango, más dispersos están los datos de un conjunto.
Ejemplo:
Se preguntó a 9 familias cuántas bicicletas tenían en total, dieron las respuestas ordenadas en la siguiente tabla:
- ¿Cómo hallarías el rango?
Se resta el dato mayor al dato menor: 3 - 0 = 3; Por lo tanto el rango sería 3 en este caso.
Sumario
Las medidas de centro te ayudan a analizar datos numéricos. La media (o media aritmética) normalmente llamada “promedio”, se calcula dividiendo la suma de los elementos de los datos entre el número de elementos. La mediana es el número que está a la mitad cuando los datos se ordenan de mínimo a máximo, y la moda es el número que aparece más frecuentemente. El rango es la diferencia entre el número mínimo y el número máximo.
TAREA PARA ENTREGAR EL VIERNES 20
1- Se le pregunta a un grupo de personas acerca de la cantidad de libros que leyó durante el año 2015, y las respuestas son: 4; 3; 2; 7; 10; 8; 2; 9; 3; 6; 8; 1; 1; 9; 2. La moda de la muestra es:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 9
2- Halla la mediana de las siguientes series estadísticas.
a) 1, 7, 3, 2, 4, 6, 2, 5, 6
b) 4, 2, 1, 3, 8, 5, 3, 1, 6, 7
3- Se tienen dos distribuciones cuyos datos son los siguientes:
Distribución A: 9, 5, 3, 2, 1, 2, 6, 4, 9, 8, 1, 3, 5, 4, 2, 6, 3, 2, 5, 6, 7
Distribución B: 1, 1, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 5, 4, 3, 1, 2, 1, 5, 7, 8, 9, 9, 2, 1
a) Halla el rango de ambas distribuciones.
4- Se tiene el siguiente conjunto de datos:
10, 13, 4, 7, 8, 11, 10, 16, 18, 12, 3, 6, 9, 9, 4, 13, 20, 7, 5, 10, 17, 10, 16, 14, 8, 18
a) Obtén la mediana
5. Considérense los siguientes datos: 3, 8, 4, 10, 6, 2. Se pide:
1. Calcular su media.
2. Si los todos los datos anteriores los multiplicamos por 3, cuál será la nueva media.
6.
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Carlos recibió las siguientes calificaciones de sus exámenes de matemáticas: 84, 92, 74, 98, y 82. Encuentra la media, la mediana, y la moda de sus calificaciones.
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7. Encontrar la media, la mediana, y la moda del siguiente conjunto de números:
12, 11, 13, 11, 12, 10, 10, 11, 13, 14.
8. Durante un periodo de 7 días en Julio, un meteorólogo registró que la mediana diaria de la temperatura máxima fue de 91º.
¿Cuál de los siguientes enunciados es verdadero?
i) La temperatura máxima fue de exactamente 91º en cada uno de los siete días.
ii) La temperatura máxima nunca bajó de los 92º.
iii) La mitad de las temperaturas máximas estuvieron por encima de los 91º y la otra mitad debajo de los 91º.
A) Sólo i
B) Sólo ii
C) Sólo iii
D) i, ii, y iii
9. Encontrar el rango del siguiente conjunto de números: 2, 4, 7, 10, 14, 35.
10. A continuación se muestra una tabla con el tiempo que le tomó a Marta llegar a la escuela tomando el autobús o caminando, en 12 días. Los tiempos de puerta a puerta, significan que el reloj inicia cuando sale de la puerta de su casa y termina cuando entra a la escuela.
Autobús
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Caminando
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16 min
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22 min
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14 min
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19 min
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15 min
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21 min
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14 min
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20 min
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31 min
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21 min
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15 min
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20 min
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· ¿Qué método de transporte es más rápido?
· Si sale de su casa 25 minutos antes de la hora de entrada a la escuela, ¿debe caminar o tomar el autobús para llegar a tiempo?
11. Los 3 mejores jugadores de tenis durante Julio de los años 2007-2011 fueron (en ningún orden en particular), Roger Federer, Rafael Nadal, y Novak Djokovic. Basados en su clasificación en Julio, ¿quién ha tenido el mejor desempeño en este lapso de tiempo?
Clasificación de la ATP para Julio, 2007-2011
Julio
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Nadal
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Federer
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Djokovic
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2011
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2
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3
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1
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2010
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1
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3
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2
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2009
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2
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1
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4
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2008
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2
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1
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3
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2007
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2
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1
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3
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12. En una maquiladora de ropa, se tomó al azar un conjunto de chamarras y se registró su duración en meses.
Los resultados obtenidos de esta situación son:
14,17,13,21,18,13,13,18,13
Contesta:
1.- ¿Cuál es el promedio de duración de las chamarras?
2.- ¿Cuál dato está en medio (mediana) de la lista ordenada de datos?
3.- ¿Cuál es el dato que más se repite (moda)?
PROBLEMA RETO (podrás o te lo resuelvo yo, tu prof.)
13. A un conjunto de 5 números cuya media es 7.31 se le añaden los números 4.47 y 10.15. ¿Cuál es la media del nuevo conjunto de números?
Media vs mediana vs moda
¿Cual medida de tendencia central es mas adecuada?
MEDIA
Conveniencias:
• Su cálculo es muy sencillo y en él intervienen todos los datos.
• Su valor es único para una serie de datos dada.
• Se usa con frecuencia para comparar poblaciones, aunque es más apropiado acompañarla de una medida de dispersión.
• Se interpreta como "punto de equilibrio" o "centro de masas" del conjunto de datos, ya que tiene la propiedad de equilibrar las desviaciones de los datos respecto de su propio valor:
Inconvenientes:
• Es una medida a cuyo significado afecta sobremanera la dispersión, de modo que cuanto menos homogéneos sean los datos, menos información proporciona. Dicho de otro modo, poblaciones muy distintas en su composición pueden tener la misma media.[4] Por ejemplo, un equipo de baloncesto con cinco jugadores de igual estatura, 1,95 m, evidentemente, tendría una estatura media de 1,95 m, valor que representa fielmente a esta población homogénea. Sin embargo, un equipo de jugadores de estaturas más heterogéneas, 2,20 m, 2,15 m, 1,95 m, 1,75 m y 1,70 m, por ejemplo, tendría también, como puede comprobarse, una estatura media de 1,95 m, valor que no representa a casi ninguno de sus componentes.
• En el cálculo de la media no todos los valores contribuyen de la misma manera. Los valores altos tienen más peso que los valores cercanos a cero. Por ejemplo, en el cálculo del salario medio de un empresa, el salario de un alto directivo que gane 1.000.000 de € tiene tanto peso como el de diez empleados "normales" que ganen 1.000 €. En otras palabras, se ve muy afectada por valores extremos
MEDIANA
Propiedades e inconvenientes
Las principales propiedades de la mediana son:
• Es menos sensible que la media a oscilaciones de los valores de la variable. Un error de transcripción en la serie del ejemplo anterior en, pongamos por caso, el último número, deja a la mediana inalterada.
• Como se ha comentado, puede calcularse para datos agrupados en intervalos, incluso cuando alguno de ellos no está acotado.
• No se ve afectada por la dispersión. De hecho, es más representativa que la media aritmética cuando la población es bastante heterogénea. Suele darse esta circunstancia cuando se resume la información sobre los salarios de un país o una empresa. Hay unos pocos salarios muy altos que elevan la media aritmética haciendo que pierda representatividad respecto al grueso de la población. Sin embargo, alguien con el salario "mediano" sabría que hay tanta gente que gana más dinero que él, como que gana menos.
Sus principales inconvenientes son que en el caso de datos agrupados en intervalos, su valor varía en función de la amplitud de estos. Por otra parte, no se presta a cálculos algebraicos tan bien como la media aritmética.
MODA
Propiedades
Sus principales propiedades son:
• Cálculo sencillo.
• Interpretación muy clara.
• Al depender sólo de las frecuencias, puede calcularse para variables cualitativas. Es por ello el parámetro más utilizado cuando al resumir una población no es posible realizar otros cálculos, por ejemplo, cuando se enumeran en medios periodísticos las características más frecuentes de determinado sector social. Esto se conoce informalmente como "retrato robot".
Inconvenientes
• Su valor es independiente de la mayor parte de los datos, lo que la hace muy sensible a variaciones muestrales. Por otra parte, en variables agrupadas en intervalos, su valor depende excesivamente del número de intervalos y de su amplitud.
• Usa muy pocas observaciones, de tal modo que grandes variaciones en los datos fuera de la moda, no afectan en modo alguno a su valor.
• No siempre se sitúa hacia el centro de la distribución.
• Puede haber más de una moda en el caso en que dos o más valores de la variable presenten la misma frecuencia (distribuciones bimodales o multimodales).
¿Cuándo usar la media, la mediana o la moda?
Estas son formas de destacar la respuesta típica en datos a nivel de intervalo. El uso de la media o el promedio (calculándose al sumar todas las respuestas y dividiendo este resultado entre el número de elementos), puede llevar a malinterpretar los datos, si estos se inclinan hacia uno lado u otro, i.e. si están “desviados” estadísticamente. Por ejemplo, si se pregunta a un grupo de personas cuántas parejas sexuales tienen o han tenido, normalmente responderán con un número relativamente reducido, como 1 ó un número entre 5 y 10. Solamente unas cuantas personas responderán con números mayores, como 50 ó más. En este caso, la distribución de las respuestas está desviada (o tiende hacia) los números bajos. Si se reporta el promedio y se tiene una persona que reportó un alto número de parejas, el promedio no será típico. En estos casos, sería mejor reportar la mediana (que es el valor en medio de un juego de datos, con la mitad de los valores por arriba, y la mitad abajo). La mediana proporciona el valor típico aun cuando el grupo de datos esté desviado hacia un lado u otro. Cuando los datos no estén desviados (cuando están distribuidos normalmente) la media y la mediana serán esencialmente el mismo número. También puede utilizar la moda – los valores más comunes en un juego de datos. Esto puede ser útil, por ejemplo si hay una encuesta que mide el aumento de conocimiento después de una capacitación y se quiere saber el puntaje más común de los participantes.
Parte 1: la media
6 miembros de un equipo de golf tuvieron las puntuaciones que se muestran abajo en su torneo más reciente:
Parte 2: la mediana
Parte 3: la "mejor" medida del centro
https://proyectodescartes.org/AprendeMX/materiales_didacticos/M06_024_Mediana/index.html
