MATE 3. Semana del 1 al 5 octubre 2018

ANÁLISIS DE DATOS

PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES

• Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas.

Las funciones cuadráticas son utilizadas en algunas disciplinas como, por ejemplo, Física, Economía, Biología, Arquitectura. Son útiles para describir movimientos con aceleración constante, trayectoria de proyectiles, ganancias y costos de empresas, variación de la población de una determinada especie que responde a este tipo de función, y obtener así información sin necesidad de recurrir a la experimentación.

Cuando se estudia cómo cambia un proceso, es conveniente encontrar un modo de representarlo matemáticamente. Para ello se puede considerar un recorte de la situación, identificar las variables que se relacionan, vincularlas de alguna manera (mediante expresiones matemáticas, tablas, gráficos, etc.) y utilizar diversos conocimientos matemáticos para analizar las relaciones que existen entre ellas y que son importantes para que el fenómeno se lleve a cabo. Algunos procesos se estudian a partir de las funciones cuadráticas, las cuales son un buen modelo para analizar situaciones en las cuales una de las variables en juego se relaciona con el cuadrado de la otra.

En matemática, una función cuadrática es toda función que pueda escribirse de la forma:

f(x) =ax² + bx +c

Donde a, b y c son números cualquiera, con la condición de que a sea un numero distinto de cero, x identifica una de las variables y f(x) es el valor que se obtiene para x a través de la función f. El punto (x; f(x)) pertenece al gráfico de la función.

En una función cuadrática: ax² se denomina término cuadrático.

                                              bx se denomina termino lineal.

                                              c se denomina término independiente.

La gráfica de una función cuadrática es siempre una curva, o parte de una curva, que se llama parábola. 
Los puntos del plano que verifican la ecuación y =ax² + bx +c, con a distinto de 0 constituyen la gráfica.

Aplicaciones de las Funciones Cuadráticas

Objetivo de Aprendizaje

·         Aplicar ecuaciones cuadráticas a situaciones del mundo real para resolver problemas.

Introducción

Las funciones cuadráticas son más que curiosidades algebraicas — son ampliamente usadas en la ciencia, los negocios, y la ingeniería. La parábola con forma de U puede describir trayectorias de chorros de agua en una fuente y el botar de una pelota, o pueden ser incorporadas en estructuras como reflectores parabólicos que forman la base de los platos satelitales y faros de los carros. Las funciones cuadráticas ayudan a predecir ganancias y pérdidas en los negocios, graficar el curso de objetos en movimiento, y asistir en la determinación de valores mínimos y máximos. Muchos de los objetos que usamos hoy en día, desde los carros hasta los relojes, no existirían si alguien, en alguna parte, no hubiera aplicado funciones cuadráticas para su diseño.

Comúnmente usamos ecuaciones cuadráticas en situaciones donde dos cosas se multiplican juntas y ambas dependen de la misma variable. Por ejemplo, cuando trabajamos con un área. Si ambas dimensiones están escritas en términos de la misma variable, usamos una ecuación cuadrática. Porque la cantidad de un producto vendido normalmente depende del precio, a veces usamos una ecuación cuadrática para representar las ganancias como un producto del precio y de la cantidad vendida. Las ecuaciones cuadráticas también son usadas donde se trata con la gravedad, como por ejemplo la trayectoria de una pelota o la forma de los cables en un puente suspendido.

Usando la Parábola

Una aplicación muy común y fácil de entender de una función cuadrática es la trayectoria seguida por objetos lanzados hacia arriba y con cierto ángulo. En estos casos, la parábola representa el camino de la pelota (o roca, o flecha, o lo que se haya lanzado). Si graficamos la distancia en el eje x y la altura en el eje y, la distancia que del lanzamiento será el valor de x cuando y es cero. Este valor es una de las raíces de una ecuación cuadrática, o intersecciones en x, de la parábola. Sabemos cómo encontrar las raíces de una ecuación cuadrática — ya sea factorizando, completando el cuadrado, o aplicando la fórmula cuadrática.

Consideremos el tiro hecho por un lanzador de peso. Nota que x = 0 cuando el lanzador tiene el tiro (una bola de metal pesada= en su mano — el tiro aún no ha salido. El lanzador usualmente comienza con el tiro en su hombro, entonces y (la altura) no es 0 cuando x = 0:

          Tarea para entregar el jueves 4

1.

Problema

Un lanzador de peso puede ser modelado usando la ecuación , donde x es la distancia recorrida (en pies) y yes la altura (también en pies). ¿Qué tan largo es el tiro?

46.4 pies

2. A pesar de que el césped sintético del campo de un estadio es aparentemente plano, su superficie tiene la forma de una parábola. Esto es para que la lluvia resbale hacia los lados. Si tomamos la sección transversal del campo, la superficie puede ser modelada por , donde x es la distancia desde la izquierda del campo y yes la altura del campo. ¿Cuál es el ancho del campo?

A) 80 pies

B) 1.5 pies

C) 234 pies

D) 160 pies R

3. Problema	Bob hizo un edredón que mide 4 pies x 5 pies.  Él tiene 10 pies cuadrados de tela para crear un borde alrededor del edredón. ¿Qué tan ancho debe hacer el borde para usar toda la tela? (El borde debe tener el mismo ancho en los cuatro lados.)

RESP = 0.5 PIES
Área del borde = Área del rectángulo azul menos el área del rectángulo rojo
http://www.montereyinstitute.org/courses/Algebra1/COURSE_TEXT_RESOURCE/U10_L2_T1_text_final_es.html

Escoge la función a la que corresponde cada una de las siguientes gráficas:

1

y = 3x²

y = x²

 

2

y = 3x² − 18x + 24

y = −3x² + 18x − 12

y = −3x² + 18x − 24

3

y = −x² + 1

y = −x² − 1

y = −x² + 3

4

y = x² + 4x + 4

y = x² − 4x + 4

y = −x² − 4x + 4

Escoge la gráfica a la que corresponde cada una de las siguientes funciones:

5y = x² + x + 1

6y = 2x² − x

7

8y = −4x² − 4x + 3

 

Si tienes dudas puedes consultar la teoría

n (

A)

Distancia entre

el proyector y la

pantalla (

d

)

1

2

3

Área

que ocupa

la imagen

(

A

)

4

16

36

1 m

2 m

3 m

AREA

5

MATEMATICAS

3

BIMESTRE 1 CICLO 201

4

-

201

5

R

esuelvan el siguiente problema:

Un helicóptero dejó caer un automóvil desde una altura de 245 metros. Algunos datos que se

registraron son los siguientes:

a)

b)

c)

a)

De acuerdo con la información, comp

leten la siguiente tabla:

Tiempo

Distancia de caída

Altura a la que se

encuentra el automóvil

0

0

245

1

5

240

2

20

3

45

4

80

5

6

7

b)

¿Cuánto tiempo tardó el auto en llegar al suelo? ___________

c)

¿Cuál de las siguientes expresiones permite

calcular la distancia de caída (

d

) en función

del tiempo transcurrido (

t

)? ________ Justifiquen su respuesta.

2

5

t

d



t

d

5



t

d

25



2

5

t

d





Tiempo transcurrido (seg

)

0

1

2

3

4

Distancia de caída (m)

0

5

20

45

80

AREA

5

MATEMATICAS

3

BIMESTRE 1 CICLO 201

4

-

201

5

R

esuelvan el siguiente problema:

Un helicóptero dejó caer un automóvil desde una altura de 245 metros. Algunos datos que se

registraron son los siguientes:

a)

b)

c)

a)

De acuerdo con la información, comp

leten la siguiente tabla:

Tiempo

Distancia de caída

Altura a la que se

encuentra el automóvil

0

0

245

1

5

240

2

20

3

45

4

80

5

6

7

b)

¿Cuánto tiempo tardó el auto en llegar al suelo? ___________

c)

¿Cuál de las siguientes expresiones permite

calcular la distancia de caída (

d

) en función

del tiempo transcurrido (

t

)? ________ Justifiquen su respuesta.

2

5

t

d



t

d

5



t

d

25



2

5

t

d





Tiempo transcurrido (seg

)

0

1

2

3

4

Distancia de caída (m)

0

5

20

45

80

AREA

5

MATEMATICAS

3

BIMESTRE 1 CICLO 201

4

-

201

5

R

esuelvan el siguiente problema:

Un helicóptero dejó caer un automóvil desde una altura de 245 metros. Algunos datos que se

registraron son los siguientes:

a)

b)

c)

a)

De acuerdo con la información, comp

leten la siguiente tabla:

Tiempo

Distancia de caída

Altura a la que se

encuentra el automóvil

0

0

245

1

5

240

2

20

3

45

4

80

5

6

7

b)

¿Cuánto tiempo tardó el auto en llegar al suelo? ___________

c)

¿Cuál de las siguientes expresiones permite

calcular la distancia de caída (

d

) en función

del tiempo transcurrido (

t

)? ________ Justifiquen su respuesta.

2

5

t

d



t

d

5



t

d

25



2

5

t

d





Tiempo transcurrido (seg

)

0

1

2

3

4

Distancia de caída (m)

0

5

20

45

80