MATE 3. Semana del 14 al 18 octubre 2019
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EJE:
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TEMA:
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Nociones de probabilidad
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SUBTEMAS:
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6. Probabilidad de eventos
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CONTENIDO:
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• Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las
características de eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e
independientes.
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APRENDIZAJES ESPERADOS
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• Explica la diferencia entre eventos complementarios, mutuamente
excluyentes e independientes.
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La suma de las probabilidades de los eventos simples de un experimento aleatorio es igual a uno, es decir, dicha suma corresponde a un evento seguro. Por ejemplo, es seguro que al lanzar una moneda caerá águila o sol, {águila, sol} es el espacio muestral del experimento que consiste en lanzar un volado. Por otra parte, se pretende también que los alumnos identifiquen eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes, para que más adelante puedan calcular su probabilidad.
Los eventos complementarios son fácilmente identificables porque la suma de sus probabilidades es igual uno. Por ejemplo, el complemento del evento «cae 5» al lanzar un dado, es «cae un número distinto de 5». Si designamos con A y Ac respectivamente ambos eventos, podemos decir que: P(A)=1/6; P(Ac )=5/6; o bien,
P(A)+P(Ac )=1 o bien
P(Ac)=1-P(A).
a) Los eventos mutuamente excluyentes son aquellos que NO tienen elementos comunes. Por ejemplo, sea el evento A: “Cae un número menor que tres al lanzar un dado” y el evento B: “cae un número mayor que cuatro”. Los elementos de A son {1, 2}; los elementos de B son {5, 6}, dado que no hay elementos comunes, A y B son mutuamente excluyentes y se calcula su probabilidad como
P(A∪B ) P(A) + P(B)
b) En cambio, si el evento A se define como: “Cae un número primo al lanzar un dado” y B se define como: “Cae un número par al lanzar un dado”, los elementos de A son {2, 3, 5} y los elementos de B son {2, 4, 6}, ambos eventos tienen un elemento común: {2}, entonces A y B no son mutuamente excluyentes y se calcula su probabilidad como
P(A∪B ) P(A) + P(B) - P(A∩B )
c) Con respecto a los eventos independientes, una manera de identificarlos es mediante el cálculo de sus probabilidades, sin embargo en esta fase del estudio ese recurso no está disponible, se trata únicamente de contrastar algunas ideas originales que en general se tienen con respecto a la probabilidad condicional. Por ejemplo, si al lanzar un volado ha caído águila cuatro veces seguidas, ¿la probabilidad de que caiga sol en el siguiente volado es más que ½, menos que ½ o igual a ½? El sentido común suele hacer pensar que después de una racha de varias águilas aumenta la probabilidad de que caiga sol, sin embargo teóricamente cada volado es independiente y por tanto la probabilidad de que caiga sol en el quinto volado es ½. La idea general de la independencia es que la probabilidad de un evento A no se ve afectada por el hecho de que ya ocurrió el evento B y se calcula su probabilidad como
P(A∩B ) = P(A) + P(B)
LAS MONEDAS
EJEMPLO 1
1. Si se realiza el experimento de lanzar tres monedas al mismo tiempo. ¿Cuántos resultados puede haber? ______
Represéntenlos de tal manera que puedan verse todos.
2. Con base en los resultados de lanzar tres monedas al mismo tiempo, contesten lo siguiente:
- La probabilidad del evento “Obtener 0 águilas” es
- La probabilidad del evento “Obtener 1 águila” es
- La probabilidad del evento “Obtener 2 águilas” es
- La probabilidad del evento “Obtener 3 águilas” es
- De los cuatro eventos anteriores, ¿cuál tiene mayor probabilidad? __ ¿Por qué? _
3. Completen las siguientes afirmaciones:
a) Probabilidad del evento “Obtener 0 águilas”: 12.5 %.
b) Probabilidad del evento “Obtener 1 águila”: ___%
c) Probabilidad del evento “Obtener 2 águilas”: ___%
d) Probabilidad del evento “Obtener 3 águilas”: __%
4. En el experimento de lanzar tres monedas al mismo tiempo, ¿puede haber un evento cuya probabilidad sea 10/8
EJEMPLO 2
1. Analicen el siguiente experimento e identifiquen las características de los eventos B y C y M y N.
Experimento: Lanzar un dado.
Espacio muestral: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Evento B: “Cae un número menor que tres”. B = {1, 2}
Evento C: “Cae un número mayor que cuatro”. C = {5, 6}
Características de los eventos B y C:
Evento M: “Cae el número tres”. B = {3}
Evento N: “Cae un número distinto de tres”. C = {1, 2, 4, 5, 6}
Características de los eventos M y N:
ACTIVIDAD 3
1. Contesten las preguntas siguientes:
a) Se lanzan cuatro volados consecutivos y en todos ellos ha caído águila. ¿Cuál es la probabilidad de que en el quinto volado también caiga águila?
b) En una caja hay cinco pelotas, una verde, una amarilla, una azul, una negra y una roja. Se realizan extracciones de una pelota al azar y se devuelve la misma a la caja. Si en la primera extracción resulta la pelota roja, en una segunda la verde y en una tercera nuevamente la roja, ¿qué probabilidad hay de sacar la pelota azul en una cuarta extracción?
1. Si se tira un dado calcular la probabilidad de:
A caen 3 puntos o menos o
B caen 5 puntos o mas
2. Se tiene una urna con 50 papeles de colores 15 rojos, 5 morados, 9 verdes, 11 naranjas y 10 azules. Cual es la probabilidad de:
A sale un papel azul o
B sale un papel rojo
3. En la urna A tenemos 7 bolas blancas y 13 negros y en la urna B 12 blancas y 8 negras.
Cual es la probabilidad de que se extraiga una bola blanca de cada una
4. En una baraja de 52 cartas se toma una carta al azar luego se regresa y se toma otra.
Cual es la probabilidad de A la primera sea de diamantes, y B la segunda sea de tréboles.
5. Un lote de 27 artículos, tiene 11 defectuosos. Se toma al azar 5 artículos del lote, uno tras otro. Hallar la probabilidad de que sean buenos.
6. Se lanza una moneda cargada, de modo que la probabilidad de que salga cara es de 2/3 y que salga sello es 1/3.
Si sale cara se escoge al azar un número del 1 al 9; si sale sello se escoge al azar un número del 1 al 5.
Hallar la probabilidad de que se escoja un número par.
7. Supongase que en una caja cerrada se tienen 3 canicas rojas, 3 canicas azules y 4 canicas verdes. Se saca una sola canica ¿Cuál es la posibilidad de sacar una canica roja?
8. Si haya una probabilidad del 10% de que Júpiter se alineará con Marte, y una probabilidad del 50% de que su tirada de una moneda saldrá águilas, entonces ¿qué es la probabilidad de que Júpiter se alineará con Marte y su tirada de la moneda saldrá águilas (suponiendo que Júpiter no tenga ningún efecto en el resultado de su tirada)?
9. Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada de la caja y luego reemplazada. Otra canica se saca de la caja. Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde?
10. Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada de la caja y no es reemplazada. Otra canica se saca de la caja. Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde?
12. Si yo tengo una canasta llena de peras y manzanas, de las cuales hay 20 peras y 10 manzanas. ¿Qué fruta es más probable que saque al azar de la canasta?
13. Al lanzar un dado tres veces, ¿según las probabilidades,
es conveniente apostar a favor o en contra de obtener al menos una vez el 2?
14. Para obtener licencia para conducir, es necesario aprobar tanto el examen teórico como el práctico. Se sabe que la prob. que un alumno apruebe la parte teórica es 0,68, la de que apruebe la parte práctica es 0,72 y la de que haya aprobado alguna de las dos partes es 0,82. Si se elige un alumno al azar, ¿cuál es la prob. de que apruebe el examen para obtener licencia?
RETO
Considere los sucesos A y B. Supóngase que P(A)= 0,4 ; P(B)= p y P(AUB)= 0,7 . ¿Para qué valor de p, los eventos A y B son mutuamente excluyentes?
