MATE 3. Semana del 8 al 10 de enero 2020

Bloque:	2
Eje:	Número, álgebra y variación
TEMA:	Ecuaciones
APRENDIZAJES ESPERADOS	• Resuelve problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones cuadráticas.

Ecuación cuadrática

Esto es una ecuación cuadrática:

(a, b, y c pueden tener cualquier valor, excepto que a no puede ser 0.)

La letra "x" es la variable o incógnita, y las letras a, b y c son los coeficientes (lee las Definiciones básicas de Álgebra)

Y el nombre cuadrática viene de "cuad" que quiere decir cuadrado, porque el exponente más grande es un cuadrado (en otras palabras x2).

Ejemplos de ecuaciones cuadráticas:

		En esta a=2, b=5 y c=3
		Aquí hay una un poco más complicada: ¿Dónde está a? En realidad a=1, porque normalmente no escribimos "1x2" b=-3 ¿Y dónde está c? Bueno, c=0, así que no se ve.
		¡Ups! Esta no es una ecuación cuadrática, porque le falta el x2 (es decir a=0, y por eso no puede ser cuadrática)

¿Qué tienen de especial?

Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver usando una fórmula especial llamada fórmula cuadrática:

	El "±" quiere decir que tienes que hacer más Y menos, ¡así que normalmente hay dos soluciones!
	La parte azul (b2 - 4ac) se llama discriminante, porque sirve para "discriminar" (decidir) entre los tipos posibles de respuesta: si es positivo, hay DOS soluciones si es cero sólo hay UNA solución, y si es negativo hay dos soluciones que incluyen números imaginarios .

Solución

Para resolverla, sólo pon los valores de a,b y c en la fórmula cuadrática y haz los cálculos.

Ejemplo: resuelve 5x² + 6x + 1 = 0

Fórmula cuadrática: x = [ -b ± √(b²-4ac) ] / 2a

Los coeficientes son: a = 5, b = 6, c = 1

Sustituye a,b,c: x = [ -6 ± √(6²-4×5×1) ] / 2×5

Resuelve: x = [ -6 ± √(36-20) ]/10 = [ -6 ± √(16) ]/10 = ( -6 ± 4 )/10

Respuesta: x = -0.2 and -1

(Comprobación:
5×(-0.2)² + 6×(-0.2) + 1 = 5×(0.04) + 6×(-0.2) + 1 = 0.2 -1.2 + 1 = 0
5×(-1)² + 6×(-1) + 1 = 5×(1) + 6×(-1) + 1 = 5 - 6 + 1 = 0)

Ecuaciones cuadráticas disfrazadas

Algunas ecuaciones no parece que sean cuadráticas, pero con manipulaciones astutas se pueden transformar en una:

Disfrazadas	Qué hacer	En forma estándar	a, b y c
x2 = 3x -1	Mueve todos los términos a la izquierda	x2 - 3x + 1 = 0	a=1, b=-3, c=1
2(x2 - 2x) = 5	Desarrolla paréntesis	2x2 - 4x - 5 = 0	a=2, b=-4, c=-5
x(x-1) = 3	Desarrolla paréntesis	x2 - x - 3 = 0	a=1, b=-1, c=-3
5 + 1/x - 1/x2 = 0	Multiplica por x2	5x2 + x - 1 = 0	a=5, b=1, c=-1

Ejemplo
Problema	Usar la fórmula cuadrática para resolver la ecuación
			a = 3, b = -11,  c = -4 Nota que la resta de signos significa que los coeficientes b y c son negativos
			Sustituir los valores en la fórmula cuadrática
			Simplificar, teniendo cuidado con los signos
			Simplificar más
			Simplificar el radical: .
	o		Separar y simplificar para encontrar las soluciones de la ecuación cuadrática. Nota que en una, 13 es sumado y en la otra, 13 es restado
Solución	x = 4 o

La solución para la ecuación cuadrática nos da las coordenadas en x de las intersecciones en x, o las raíces de una ecuación cuadrática. Las raíces de la ecuación cuadrática son los valores donde la parábola cruza el eje x. Podemos comprobar esto observando la gráfica de la función  y ver que las raíces son (4, 0) y (, 0).

Ejemplo
Problema	Usar la fórmula cuadrática para resolver la ecuación
			Restar 6x de cada lado y sumar 16 a ambos lados para transformar la ecuación a su forma.
			Identificar los coeficientes a, b, y c. x2= 1x2, entonces a = 1. Como 8x está siendo restado, b es negativo. a = 1, b = -8, c = 16.
			Aplicar la fórmula cuadrática
			Simplificar
			Como la raíz cuadrada de 0 es 0, y sumar o restar 0 dan el mismo resultado, existe sólo un valor posible
Solución	x = 4

Esta ecuación cuadrática sólo tiene una solución, por lo que la gráfica de la función  tocará el eje x una vez. Tiene una sola raíz.

Sumario

La fórmula cuadrática, , se obtiene al completar el cuadrado de la ecuación cuadrática .  La fórmula puede ser usada para encontrar la solución de una ecuación cuadrática e identificar cualquier raíz posible, o las intersecciones en x, de la función.

El discriminante de una fórmula cuadrática es la cantidad debajo del radical , . Determina cuántas soluciones existen para la ecuación cuadrática. Si el discriminante es positivo, hay dos raíces. Si es cero, existe una raíz. Si el discriminante es negativo, no existen raíces.

EJERCICIOS

1.- Danna resolvió una ecuación cuadrática en casa a la 1:00 de la mañana. Su trabajo, sin el paso $3$, se muestra a continuación.

¿Qué pudo haber escrito Danna como resultado del paso $3$?

$\begin{aligned} \dfrac{1}{2}(x-1)^2+5&=23 \\\\ \dfrac{1}{2}(x-1)^2&=18&\text{Paso }1. \\\\ (x-1)^2&=36&\text{Paso }2. \\\\ &&\text{Paso }3. \\\\ x=-5&\text{ o }x=7&\text{Paso }4. \end{aligned}$

Escoge 1 respuesta:

Escoge 1 respuesta:

• 
  

  
  

  
  

  $x^2=35$
• 
  

  
  

  
  

  $x^2-1=36$
• 
  

  
  

  
  

  $x^2=36$
• 
  

  
  

  
  

  $x-1=\backslash pm6$

1

2

3

4

5

6

7

8x² + (7 − x)² = 25

97x² + 21x − 28 = 0

11

126x² −5x +1 = 0

13

14

               1.   ¿Cuál de las siguientes situaciones se resuelve mediante la ecuación

x² + 2x – 120? Resuelve el problema anterior usando la fórmula general.

A) La base de un triángulo es 2 cm menor que su altura y su área vale 60 cm2

B) El largo de un rectángulo es 4 cm mayor que su base y el área equivale a 120 cm2.

C) El largo de un rectángulo es igual a la base más 2 u y su área es de 60 cm2.

D) La altura de un triángulo es 4 cm mayor que el doble de su base, área es 120 cm2.

2.Usa  el  discriminante  de  la  fórmula  general  y  menciona  cuántas  soluciones  tiene  la  siguiente ecuación: 3x² + 9x – 12 = 0

A) 1 solución.       B) 2 soluciones.     C) 3 soluciones. D) Sin solución.

3.Encuentra las soluciones de la ecuación 3x² + 18 = 15x utilizando la fórmula general

A) x1= 3, x2=2          B) x1= −1, x2= −5  C) x1= − 3, x2= − 2      D) La ecuación no tiene soluciones

4.Considera la siguiente ecuación de segundo grado: 5x² + 2x + 1 = 0. Al calcular el valor de su discriminante (b² – 4ac) nos damos cuenta de que la ecuación tiene...

A) cero soluciones    B) una solución    C) dos soluciones    D) muchas soluciones

5.Utiliza el cálculo mental para determinar cuál de las siguientes ecuaciones tiene dos raíces reales y distintas. A) x² – x +1 = 0    B) x² – 2x + 1 = 0  C) x² + 5x – 6 = 0  D) x² + 3x + 3 = 0

6.La tarea de Edgar es encontrar el valor de la x de la siguiente ecuación 2x² - 8x + 6 = 0 mediante la fórmula general. ¿Cuál es un valor de la x?

A) -3         B) -1               C) 3               D) 6

7.La altura h de un objeto que viaja por el aire durante un tiempo t está dada por la ecuación:

h = 24t − 2t²

en donde h está en metros y t en segundos. ¿A los cuántos segundos el objeto alcanza una altura de 40 metros?

RETO

Resuelve la siguiente ecuación: