MATE 2. Semana del 26 al 29 noviembre 2018
BLOQUE 1
La probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se de un determinado resultado (suceso o evento) cuando se realiza un experimento aleatorio.
para calcular la probabilidad de un evento se toma en cuenta todos los casos posibles de ocurrencia del mismo: es decir, de cuantas formas puede ocurrir determinada situación.
Ejemplo:
1.- Alan y Evelyn juegan a lanzar una canica dos veces en un tablero con nueve orificios marcados con un número cada uno de forma consecutiva, como se muestra en la figura de la derecha.
- Alan obtiene un punto si el valor de la suma de los números donde cae la canica es un número par.
- Evelyn obtiene un punto si el valor de la suma de los números donde cae la canica es un número impar.
- Gana el juego el que acumule cinco puntos.
a).- ¿Ambos tienen las mismas posibilidades de ganar? Si no es así, ¿Quién de los dos tiene más oportunidades de ganar?
CONCEPTOS BÁSICOS:
Los juegos de azar son ejemplos de experimentos aleatorios, en ellos no se puede conocer el resultado antes de que éste se realice.
Se le llama espacio muestral al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio, este se escribe entre llaves { } y cada resultado posible se separa con una coma.
Ejemplo:
El espacio muestral de lanzar una moneda al aire es: {águila, sol}.
Se utiliza la palabra evento para referirse al resultado que se obtiene al llevarse acabo un experimento aleatorio. El número total de eventos se obtiene contando todos los resultados posibles que se obtienen al realizar un experimento. Se considera evento favorable la ocurrencia mayor de un resultado en particular del experimento.
Ejemplo:
Continuando con nuestra guerra contra la intuición, hoy veremos una paradoja que se presenta muy frecuentemente en la vida diaria, la paradoja de los cuatro hijos. Como dije en anteriores entradas, la lógica matemática nos dará la solución, por muy improbable que sea en un principio. Dicho esto, comencemos con el problema de hoy:
Un día, un joven matrimonio decidió tener hijos. El marido, muy previsor, empezó a echar cuentas y le preguntó a su esposa:
"Querida, ¿cuántos hijos vamos a tener?"
Su esposa, que lo tenía bastante claro, le respondió que quería tener exactamente cuatro vástagos. Su esposo se mostró de acuerdo y empezaron a preparar las habitaciones necesarias para ellos. En ese momento, cuando estaban construyendo una casa lo suficientemente grande para sus cuatro hijos, surgió una nueva duda:
"¿Y qué vamos a tener, niños o niñas? ¿Serán todos del mismo sexo?"
La pareja se puso a reflexionar sobre este nuevo problema: Evidentemente, no había forma humana de saber con exactitud el género de sus futuros hijos, pero podían hacer alguna aproximación sobre la cantidad de niños o niñas que tendrían. La primera conclusión que sacaron fue que lo más extraño sería que los cuatro hijos fueran todos del mismo sexo.Seguramente, de los cuatro tendría que salir alguno diferente.
Pero, ¿cuál sería la cifra más aproximada? ¿Cuántas chicas y chicos era más probable que tuvieran? Su conclusión fue bastante intuitiva: Lo más probable es que tuvieran dos niños y dos niñas, es decir, la mitad. El padre estaba convencido de su decisión. Al fin y al cabo, la posibilidad de que su hijo fuera chico o chica era de un 50%, por lo que estaba claro que debían de tener la mitad de un género y la otra mitad de otro.
Sería como lanzar una moneda: Cada hijo podría ser niño o niña (1/2 de probabilidades), así que al final lo más probable sería que, de los cuatro, hubiera dos niñas y dos niños, cumpliéndose así la probabilidad planteada.
¿Estaba en lo correcto? La madre empezó a dudar, pero la lógica que su esposo proponía era aplastante. ¿Tendrían entonces dos niños y dos niñas? ¿O algo estaba fallando en su razonamiento? Y, en caso de que fallara, ¿cuál sería la cifra más probable de chicos y chicas que tendría el matrimonio?
Como ya habréis supuesto, el marido estaba cometiendo un grave error. Antes de seguir, para ver mejor la situación y aclararlo todo, vamos a realizar un esquema en el que se pueden ver todas las combinaciones posibles a la hora de tener cuatro hijos. Las niñas las representaremos con una M (de mujer) y a los niños con una H (de hombre):
M-M-M-M
M-M-M-H
M-M-H-M
M-M-H-H
M-H-M-M
M-H-M-H
M-H-H-M
M-H-H-H
H-M-M-M
H-M-M-H
H-M-H-M
H-M-H-H
H-H-M-M
H-H-M-H
H-H-H-M
H-H-H-H
Esta aclaradora tabla da como resultado un total de 16 diferentes combinaciones. Ahora, para demostrar la falsedad del enunciado del marido, basta con contar las posibilidades.
En primer lugar, vemos que la posibilidad de que los cuatro hijos sean del mismo sexo es de 2/16 (es decir, sólo tienen un 12'5% de posibilidades). Por lo tanto, su primera premisa era correcta.
Sin embargo, la propuesta principal de la pareja falla estrepitosamente. Vamos a contar las veces que se repite una combinación de dos chicas y dos chicos. Como resultado, obtendremos 6/16, es decir, sólo hay un 37'5% de posibilidades de tener una pareja de cada sexo, mientras que nuestra intuición decía que esto era lo más probable.
Entonces, ¿qué es lo más normal en un matrimonio con cuatro hijos? Aunque resulte difícil de creer, si contamos las opciones en la tabla obtendremos como resultado que las posibilidades de tener un hijo de un sexo y otros tres de diferentes sexo (es decir, un niño y tres niñas, o una niña y tres niños) es lo más normal, ya que obtenemos 8/16, es decir, un 50% de probabilidades.
Resumiendo, esta sencilla tabla demuestra que la mitad de los matrimonios con cuatro vástagos tendrán un hijo y tres niñas o una hija y tres niños. De nuevo, nuestra primera impresión ha fallado.
TAREA PARA ENTREGAR EL JUEVES 29
3.- Javier, Maria Eugenia y Karime compraron boletos para la rifa de un equipo de sonido. el tiraje de boletos fue de 300. Javier compró los números: 34, 78, 90 y 21: María Eugenia compró los números: 210, 211, 212 y 213: y por ultimo Karime compró el número: 67, ¿Quién tiene mas probabilidades de ganar y por que?
4.- Se lanza simultáneamente dos dados, uno de color rojo y otro de color azul, considera el número que exhibe cada uno en su cara superior.
a).- ¿Qué es más probable que caiga un número par en el lado rojo o que la suma de ambos sea 7? ¿Por que?
b).- ¿Qué es más probable que caiga un número par en el dado azul o que la suma sea 6? ¿Por que?
EJE: Análisis de
datos
TEMA: Nociones de probabilidad
APRENDIZAJES ESPERADOS: •
Comparación de dos o más eventos a partir de sus resultados posibles, usando
relaciones como: “es más probable que…”, “es menos probable que…”.
La probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se de un determinado resultado (suceso o evento) cuando se realiza un experimento aleatorio.
para calcular la probabilidad de un evento se toma en cuenta todos los casos posibles de ocurrencia del mismo: es decir, de cuantas formas puede ocurrir determinada situación.
Ejemplo:
1.- Alan y Evelyn juegan a lanzar una canica dos veces en un tablero con nueve orificios marcados con un número cada uno de forma consecutiva, como se muestra en la figura de la derecha.- Alan obtiene un punto si el valor de la suma de los números donde cae la canica es un número par.
- Evelyn obtiene un punto si el valor de la suma de los números donde cae la canica es un número impar.
- Gana el juego el que acumule cinco puntos.
a).- ¿Ambos tienen las mismas posibilidades de ganar? Si no es así, ¿Quién de los dos tiene más oportunidades de ganar?
CONCEPTOS BÁSICOS:
Los juegos de azar son ejemplos de experimentos aleatorios, en ellos no se puede conocer el resultado antes de que éste se realice.
Se le llama espacio muestral al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio, este se escribe entre llaves { } y cada resultado posible se separa con una coma.
Ejemplo:
El espacio muestral de lanzar una moneda al aire es: {águila, sol}.
Se utiliza la palabra evento para referirse al resultado que se obtiene al llevarse acabo un experimento aleatorio. El número total de eventos se obtiene contando todos los resultados posibles que se obtienen al realizar un experimento. Se considera evento favorable la ocurrencia mayor de un resultado en particular del experimento.
En los juegos de azar nunca se sabe con certeza lo que va a ocurrir. Cuando decimos que un suceso o resultado es más probable o menos probable que otro porque hay elementos o circunstancias que favorecen nuestra predicción. En la vida cotidiana constantemente predecimos resultados a partir de situaciones que nos pueden favorecer o no.
"La probabilidad estudia y calcula la posibilidad de que ocurra un resultado particular en determinada acción".
Ejemplo:
El sábado pasado Lucía y Joaquín fueron a la feria. Les gusta mucho jugar a los dardos.
El juego consiste en una rueda con dibujos de estrellas de diferentes colores; por turno cada jugador tira un dardo cuando la rueda está girando y no sabe el color de la estrella en la que se va a clavar el dardo.
En la rueda hay 12 estrellas en total, de las cuales 2 son moradas, 3 amarillas, 4 azules y 3 rojas.
A continuación están las expresiones más probable y menos probable, según corresponda.
Es menos probable que el dardo caiga en una estrella roja que en una azul.
Es más probable que caiga en una azul que en una amarilla.
Es menos probable que caiga en una morada que en una azul.
Es más probable que caiga en una azul que en una morada.
Es más probable que caiga en una roja que en una morada.
Regla de Laplace
Si realizamos un experimento aleatorio en el que hay n sucesos elementales, todos igualmente probables, equiprobables, entonces si A es un suceso, la probabilidad de que ocurra el suceso A es:
Ejemplos
1Hallar la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire salgan dos caras.
Casos posibles: {cc, cx, xc, xx}.
Casos favorables: 1.
2En una baraja de 40 cartas, hallar la P (as) y P (copas).
Casos posibles: 40.
Casos favorables de ases: 4.
Casos favorables de copas: 10.
3Calcular la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga:
1 Un número par.
Casos posibles: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Casos favorables: {2, 4, 6}.
2 Un múltiplo de tres.
Casos favorables: {3, 6}.
3 Mayor que 4.
Casos favorables: {5, 6}.
Esto no lo copies para tu apunte
Paradojas matemáticas (2ª parte) La paradoja de los cuatro hijos
Continuando con nuestra guerra contra la intuición, hoy veremos una paradoja que se presenta muy frecuentemente en la vida diaria, la paradoja de los cuatro hijos. Como dije en anteriores entradas, la lógica matemática nos dará la solución, por muy improbable que sea en un principio. Dicho esto, comencemos con el problema de hoy:Un día, un joven matrimonio decidió tener hijos. El marido, muy previsor, empezó a echar cuentas y le preguntó a su esposa:
"Querida, ¿cuántos hijos vamos a tener?"
Su esposa, que lo tenía bastante claro, le respondió que quería tener exactamente cuatro vástagos. Su esposo se mostró de acuerdo y empezaron a preparar las habitaciones necesarias para ellos. En ese momento, cuando estaban construyendo una casa lo suficientemente grande para sus cuatro hijos, surgió una nueva duda:
"¿Y qué vamos a tener, niños o niñas? ¿Serán todos del mismo sexo?"
La pareja se puso a reflexionar sobre este nuevo problema: Evidentemente, no había forma humana de saber con exactitud el género de sus futuros hijos, pero podían hacer alguna aproximación sobre la cantidad de niños o niñas que tendrían. La primera conclusión que sacaron fue que lo más extraño sería que los cuatro hijos fueran todos del mismo sexo.Seguramente, de los cuatro tendría que salir alguno diferente.
Pero, ¿cuál sería la cifra más aproximada? ¿Cuántas chicas y chicos era más probable que tuvieran? Su conclusión fue bastante intuitiva: Lo más probable es que tuvieran dos niños y dos niñas, es decir, la mitad. El padre estaba convencido de su decisión. Al fin y al cabo, la posibilidad de que su hijo fuera chico o chica era de un 50%, por lo que estaba claro que debían de tener la mitad de un género y la otra mitad de otro.
Sería como lanzar una moneda: Cada hijo podría ser niño o niña (1/2 de probabilidades), así que al final lo más probable sería que, de los cuatro, hubiera dos niñas y dos niños, cumpliéndose así la probabilidad planteada.
¿Estaba en lo correcto? La madre empezó a dudar, pero la lógica que su esposo proponía era aplastante. ¿Tendrían entonces dos niños y dos niñas? ¿O algo estaba fallando en su razonamiento? Y, en caso de que fallara, ¿cuál sería la cifra más probable de chicos y chicas que tendría el matrimonio?
Como ya habréis supuesto, el marido estaba cometiendo un grave error. Antes de seguir, para ver mejor la situación y aclararlo todo, vamos a realizar un esquema en el que se pueden ver todas las combinaciones posibles a la hora de tener cuatro hijos. Las niñas las representaremos con una M (de mujer) y a los niños con una H (de hombre):
M-M-M-M
M-M-M-H
M-M-H-M
M-M-H-H
M-H-M-M
M-H-M-H
M-H-H-M
M-H-H-H
H-M-M-M
H-M-M-H
H-M-H-M
H-M-H-H
H-H-M-M
H-H-M-H
H-H-H-M
H-H-H-H
Esta aclaradora tabla da como resultado un total de 16 diferentes combinaciones. Ahora, para demostrar la falsedad del enunciado del marido, basta con contar las posibilidades.
En primer lugar, vemos que la posibilidad de que los cuatro hijos sean del mismo sexo es de 2/16 (es decir, sólo tienen un 12'5% de posibilidades). Por lo tanto, su primera premisa era correcta.
Sin embargo, la propuesta principal de la pareja falla estrepitosamente. Vamos a contar las veces que se repite una combinación de dos chicas y dos chicos. Como resultado, obtendremos 6/16, es decir, sólo hay un 37'5% de posibilidades de tener una pareja de cada sexo, mientras que nuestra intuición decía que esto era lo más probable.
Entonces, ¿qué es lo más normal en un matrimonio con cuatro hijos? Aunque resulte difícil de creer, si contamos las opciones en la tabla obtendremos como resultado que las posibilidades de tener un hijo de un sexo y otros tres de diferentes sexo (es decir, un niño y tres niñas, o una niña y tres niños) es lo más normal, ya que obtenemos 8/16, es decir, un 50% de probabilidades.
Resumiendo, esta sencilla tabla demuestra que la mitad de los matrimonios con cuatro vástagos tendrán un hijo y tres niñas o una hija y tres niños. De nuevo, nuestra primera impresión ha fallado.
Por supuesto, también podemos demostrar esta paradoja de forma experimental, usando para ello una moneda. Imaginemos que si sale cara, tenemos un chico, y si sale cruz una chica. Tras lanzar la moneda cuatro veces seguidas durante varias rondas, acabaremos viendo que lo más habitual es que ocurra lo que hemos predicho aquí, mediante las matemáticas.
Esta curiosa paradoja que tantas veces se nos presenta en nuestro día a día fue propuesta por Martin Gardner en 1959, cuando publicó un problema similar en la revista Scientific American. Esta paradoja tiene distintas variantes, pero todas ellas se pueden resolver fácilmente mediante el método propuesto en este post, que aclarará cualquier fallo en nuestra forma de razonar.
- Observen el contenido de las tres bolsas y respondan las preguntas.
a) Si se saca una paleta de la bolsa 1, ¿qué sabor es menos probable de obtener? __________________________________________________________________________
¿Por qué? __________________________________________________________________
b) Si se desea una paleta de limón, ¿de cuál bolsa es más probable sacarla?__________________________________________________________________________
¿Por qué?___________________________________________________________________
- Ahora observen el contenido de las bolsas 4 y 5 y escriban en las líneas “es más probable que”, “es menos probable que” o “es igualmente probable a” según corresponda.
a) En la bolsa 4, sacar una paleta de piña _____________________________ sacar una paleta de limón.
b) En la bolsa 5, sacar una paleta de piña _____________________________ sacar una paleta de limón.
c) Sacar una paleta de limón de la bolsa 4 ____________________________ sacar una paleta de piña de la bolsa 5.
3.- Javier, Maria Eugenia y Karime compraron boletos para la rifa de un equipo de sonido. el tiraje de boletos fue de 300. Javier compró los números: 34, 78, 90 y 21: María Eugenia compró los números: 210, 211, 212 y 213: y por ultimo Karime compró el número: 67, ¿Quién tiene mas probabilidades de ganar y por que?
4.- Se lanza simultáneamente dos dados, uno de color rojo y otro de color azul, considera el número que exhibe cada uno en su cara superior.
a).- ¿Qué es más probable que caiga un número par en el lado rojo o que la suma de ambos sea 7? ¿Por que?
b).- ¿Qué es más probable que caiga un número par en el dado azul o que la suma sea 6? ¿Por que?
Ejercicio nº 5.-
-
¿Qué es
una experiencia aleatoria?
-
De las
siguientes experiencias, ¿cuáles son aleatorias?
a) En una bolsa metemos seis bolas rojas y seis
azules, sacamos una y anotamos su color.
b) Al lanzar una moneda al aire sale cara o cruz.
c) Al extraer una carta de la baraja observamos si
sale un As.
Ejercicio nº 6.-
En una
urna hay 5 bolas, cuatro rojas y una azul, sacamos una bola y anotamos su
color. Escribe el espacio muestral y califica cada suceso según su
probabilidad:
TIPO DE SUCESO
|
SUCESO
|
Seguro
|
Sacar bola roja o azul.
|
Sacar bola azul.
|
|
Sacar bola verde.
|
|
Sacar bola roja.
|
|
Ejercicio 7. Extraemos una carta de una baraja y anotamos el palo que sale. Escribe es espacio muestral y completa la tabla con ejemplos de distintos sucesos
TIPO DE SUCESO
|
SUCESO
|
Seguro
|
|
Suceso posible
|
|
Suceso imposible
|
|
Suceso muy probable
|
|
Suceso poco probable
|
|
Ej 8. del ejemplo de Alan y Evelyn obtener:
a) Si se lanza una canica dos veces sobre los orificios, ¿de cuántas formas puede caer?
Contesta a las siguientes preguntas
1Calcular la probabilidad de que al tirar un dado salga:
Un número impar.
P (Impar) =
Un múltiplo de 3.
P (Múltiplo de 3) =
Un número menor que 5.
P (<5) =
2Una urna tiene seis bolas blancas, 5 negras y 4 rojas. Si se extrae una bola al azar calcular la probabiliidad de:
Sea blanca.
P (Blanca) =
Sea negra.
P (Negra) =
No sea roja.
P (No roja) =
3De una urna que contiene 4 bolas blancas y seis negras, se extraen dos bolas al azar, con reemplazamiento. Calcular la probabilidad de que:
Las dos sean negras.
Una sea blanca y la otra negra.
4 Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide:
La probabilidad de que la suma sea 5.
La probabilidad de que la suma sea 11.
Escribe el espacio muestral.
4
