MATE 2. Semana del 12 al 16 noviembre 2018

BLOQUE	1
EJE:	Análisis de datos
TEMA:	Resolución de problemas que impliquen el cálculo de interés compuesto, crecimiento poblacional u otros que requieran procedimientos recursivos
APRENDIZAJES ESPERADOS:	Resuelve problemas que implican el cálculo de porcentajes o de cualquier término de la relación: Porcentaje = cantidad base × tasa. Inclusive problemas que requieren de procedimientos recursivos

PROCEDIMIENTOS RECURSIVOS

HACER RESUMEN DE CUALQUIER  VIDEO (COPIAR FÓRMULAS PARA CALCULAR INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO)

¿Qué es el interés del dinero?

El interés es el beneficio que genera una determinada cantidad de dinero, como por ejemplo en un préstamo o en un depósito a plazo fijo. Es proporcional a la cantidad de dinero prestada y al tiempo que dura el préstamo o el plazo fijo.

Es decir, si una entidad financiera presta dinero a alguien, esa persona, deberá devolver la cantidad prestada más el interés, que es el beneficio de la entidad financiera por prestar ese dinero.

De la misma forma, si depositas un plazo fijo en un banco, el banco te ofrece un beneficio al final de un periodo de tiempo, por lo que recibirás el dinero depositado más el interés, que será el beneficio obtenido por realizar un plazo fijo.

Existen dos tipos de intereses: interés simple e interés compuesto

No hay que confundir los intereses, que es una cantidad de dinero determinada, con el tipo o la tasa de interés, que es un porcentaje y que te explico en el siguiente apartado.

Conceptos relacionados con el interés

Vamos a explicar los conceptos que necesitas conocer para entender bien el interés, ya que necesitas tenerlo muy claros para identificarlos y saber trabajar con ellos en los ejercicios sobre interés, que veremos más adelante:

Capital

Tenemos dos tipos de capitales:

• El capital inicial, que es la cantidad de dinero inicial que se presta o se deposita.
• El capital final, que es la cantidad de dinero obtenida después de sumarle los intereses

Tasa o tipo de interés

Es el porcentaje en el que se van generando los intereses en cada periodo que dura el préstamo o el depósito. Está muy relacionado con el periodo de tiempo que dura el préstamo, ya que el tipo de interés puede ser anual, semestral, trimestral, mensual…

Se puede expresar en tanto por uno o en tanto por ciento, teniendo en cuenta que al expresarlo en tanto por uno, hay que dividirlo entre 100:

Y si lo expresamos en tanto por ciento, ya está dividido entre 100 directamente:

Al final, el valor es el mismo:

En los ejercicios sobre interés simple e interés compuesto se suele trabajar siempre en tanto por uno, ya que es la forma de expresarlo más comúnmente.

La tasa de interés aparece en los documentos contables, tal y como se explica en caymans.com/documentos

Periodo de tiempo

Es el tiempo durante el cual el capital prestado o depositado está generando intereses. Puede medirse en años, semestres, trimestres, meses…

Interés simple

¿Cómo se calcula el interés simple?

El interés simple se calcula siempre sobre el capital inicial. Los intereses generados en cada periodo de tiempo es siempre el mismo.

Por ejemplo, en el caso de prestar o depositar 1000 € al 5% anual. ¿Cuántos intereses se generarían en un año?

Sólo hay que calcular el 5% de 1000 € y tendríamos los intereses generados, multiplicando el capital inicial por el porcentaje en tanto por ciento o en tanto por uno y dividiéndolo entre 100.

Lo calcularemos con el tipo de interés en tanto por uno:

Por tanto, en un año se generarían 50 €.

¿Cuántos intereses se generarían en 8 años?

Pues sólo tenemos que multiplicar la cantidad anterior por el número de años que dura el préstamo o el depósito, ya que cada año se generan los mismos intereses:

Para calcular el capital final, sumamos los intereses a al capital inicial:

Por tanto, para calcular el interés simple, podemos utilizar la siguiente fórmula:

Donde, “Ci” es el capital inicial prestado o depositado, “i” es el tipo de interés (en tanto por uno, porque lo dividimos entre 100) y “t” es el tiempo que dura el préstamo o el depósito.

El tipo o tasa de interés y el periodo de tiempo, deben expresarse en la misma unidad de tiempo. Es decir, si el tipo de interés es anual, el periodo de tiempo debe estar en años, si el tipo de interés es mensual, el tiempo debe estar en meses y así sucesivamente.

Lo más fácil es pasar siempre el periodo de tiempo a la unidad en la que esté expresada el tipo de interés.

Vamos a ver un ejemplo:

Calcular el interés simple generado por 5000 € al 4% mensual durante 3 años.

En este caso, tenemos el tipo de interés expresado en meses y el periodo de tiempo en años. Por tanto, hay que pasar los años del periodo de tiempo a meses, para tener las dos cosas en la misma unidad.

Un año tiene 12 meses, por tanto, sólo hay que multiplicar 3 por 12, para obtener los 3 años en meses (también puedes hacerlo con un regla de tres):

Tiene sentido hacerlo así, porque el 4% mensual quiere decir, que el capital está generando intereses cada mes y por tanto hay que multiplicarlo por el número de meses que dura el préstamo par obtener el interés total.

Interés compuesto

En el interés compuesto, los intereses que se van generando al final de cada periodo, se van añadiendo al capital, que sirve base para calcular los nuevos intereses generados con ese nuevo capital.

Al finalizar cada periodo, el capital final será igual al capital inicial más los intereses:

Los intereses para cada periodo se calcular multiplicando el capital en ese periodo por el tipo de interés en tanto por uno, dividido entre 100:

Por tanto, el capital para el final de cada periodo se puede expresar como:

Que si sacamos factor común al capital inicial queda:

Ahora imaginemos que queremos prestar o depositar 1000 € al 5% anual de interés compuesto. ¿Cuántos intereses se generarían en 2 años?

Aplicamos la fórmula anterior para calcular el capital final, al término del primer año:

Para el siguiente año, el capital inicial ya no son los 1000 € del principio, sino que hay que añadirle los intereses que se han generado durante el primer año. Por tanto, el capital inicial ahora son 1050 €. El capital final es igual a:

Para calcular los intereses generados al final de los dos años, restamos el capital final al término del segundo año el capital que teníamos al principio del todo:

Si tuviéramos que calcular el capital final generado al cabo de 10 años, no es necesario repetir este proceso 10 veces. Esta vez lo he hecho así para que veas cómo funciona. Para obtener el capital final de cada año, lo que hacemos es multiplicar por (1+i/100) las mismas veces que el número de unidades de la cantidad de tiempo.

Por tanto, para calcular el capital final con un interés compuesto, podemos utilizar la siguiente fórmula:

Donde “Cf” es el capital final, “Ci” es el capital inicial, “i” son los intereses en tanto por uno y “t” es el tiempo que dura el préstamo o el depósito.

En este caso no estamos calculando los intereses generados directamente, como en el cálculo del interés simple, sino que estamos calculando el capital final. Para calcular los intereses generados hay que restar el capital inicial al capital final:

Al igual que con el interés simple, en el interés compuesto el tipo o tasa de interés y el periodo de tiempo, deben expresarse en la misma unidad de tiempo.

Por ejemplo: Calcular los intereses generados en un plazo fijo de 15000 € al 3% anual de interés compuesto al cabo de 5 años.

Aplicamos la fórmula que acabamos de ver para el interés compuesto y sustituimos todas los datos que conocemos:

Y finalmente operamos:

Hemos calculado el capital final al cabo de 5 años, los intereses generados son:

También podemos calcular cualquiera de las variables si conocemos las demás, con solo sustituir en la fórmula de interés compuesto y despejar la variable que falte.

TAREA PARA ENTREGAR EL JUEVES 15 NOVIEMBRE
Ejercicio 1

Los papás de Alondra quieren hacer una fiesta para celebrar los XV años de ella. Les faltan $10,000 para todos los gastos previstos y para obtener ese dinero tienen dos opciones, el banco PIERDEMEX les presta esa cantidad con un interés simple del 10% mensual, mientras que el banco ATRACOMER les ofrece la misma cantidad con un interés compuesto del 8% mensual. Si tienen planeado pagar el préstamo junto con los intereses al término de 10 meses (cuando van a recibir sus aguinaldos), completen la siguiente tabla y contesten lo que se pide (redondea las cantidades a números enteros).

	PIERDEMEX			ATRACOMER (21588)
Meses	Monto del que se calcula el interés	Int. Simple 10%	Adeudo total	Monto del que se calcula el interés	Int. Compuesto 8%	Adeudo total
0	10,000	0	10,000	10,000	0	10,000
1	10,000	1000	11,000	10,000	800	10,800
2
3
4
5
6
7
8
9
10

¿En cuál banco les conviene pedir el préstamo? En -------------, porque paga, al cabo de 10 meses $20,000 mientras que en ____________paga _____________
¿Cuánto más tendrían que pagar de intereses en el Banco que no les conviene, al término del plazo fijado? ____________  

Ejercicio Nº 2

Averiguar en qué se convierte un capital de 1.200.000 pesos al cabo de 5 años, y a una tasa de interés compuesto anual del 8 %. 

Ejercicio Nº 3

Digamos que pretendemos tener $2.000.000 dentro de 5 años. Si el banco paga una tasa de 10% anual ¿cuánto necesitamos como capital inicial?

4. Jorge quiere ayudar a pagar los XV de Alondra, por lo que invertirá $1000 al 8% anual compuesto trimestralmente durante un año.
a) ¿Cuántas veces al año se calcula el interés?
b) ¿Cuál es el interés trimestral?
Completa la tabla donde se muestre el saldo trimestral de Jorge

Trimestre	Cálculo interés compuesto	Saldo
Inicio de la cuenta	$1000	$1000
1er trimestre
2° trimestre
3° trimestre
4° trimestre

¿De qué otra forma  se puede calcular el importe final?  

¿Sirvió de algo el esfuerzo de Jorge?

5. En el año 2010 la población de México era de 112 336 538 habitantes. Suponiendo que la tasa de crecimiento durante una década es de 18%  y se mantiene constante, ¿Cuál será la población en los años 2020, 2030, 2040, 2050, 2060 y 2070?

Ejercicio 6

¿Cuál es el interés simple generado en un plazo fijo, por un capital de 10000 €, al 4% trimestral durante 2 años?

Ejercicio 7

Después de 3 años, un banco ha pagado en concepto de interés la cantidad de 840 € a una persona por depositar un plazo fijo. La tasa de interés ha sido del 2% anual. ¿Cuál fue el capital inicial con el que se hizo el depósito?