MATE 3. Semana del 14 al 18 enero 2018

Bloque:	3
Eje:	Forma, espacio y medida
TEMA:	Figuras y cuerpos
APRENDIZAJES ESPERADOS	• Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos en la resolución de problemas

Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos en la resolución de problemas

Practica con estas actividades de Mathgames

Identifica si los triángulos son semejantes o congruentes (similar or congruent)

Encuentra el dato faltante si las figuras son semejantes

Identifica los criterios de congruencia que correspondan (congruence statements)

Encuentra el dato faltante si las figuras son congruentes

Encuentra el lado o ángulo faltante si las figuras son semejantes

Congruencia

Dos objetos geométricos son congruentes si tienen las mismas medidas y los mismos ángulos.

Por ejemplo, los siguientes segmentos son congruentes:

Igualmente, los siguiente dos ángulos son congruentes, pues tienen la misma medida:

Los siguientes triángulos son congruentes, pues tienen las medidas de sus lados y de sus angulos iguales, uno a uno:

Para denotar matemáticamente que los triángulos $\triangle ABC$ y $\triangle A'B'C'$ son congruentes, vamos a usar la notación:

$\begin{equation*} \triangle ABC \cong \triangle A'B'C' \end{equation*}$

y esto se leerá como: El triángulo $ABC$ es congruente con el triángulo $A'B'C'$ .

Existen tres criterios para determinar si dos triángulos dados son o no congruentes.

Los criterios son los siguientes:

(i) Si dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos ángulos de otro triángulo, los dos triángulos son congruentes.
(ii) Si un ángulo de un triángulo es congruente con el ángulo de otro triángulo, y además los lados del ángulo considerado en cada triángulo son congruentes, entonces los dos triángulos son congruentes.
(iii) Si las longitudes de los lados de un triángulo son congruentes a las longitudes de los lados de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

El siguiente teorema es importante:

Teorema

La congruencia de triángulos satisface:

(i) $\triangle ABC\cong\triangle ABC$ .
(ii) Si $\triangle ABC\cong\triangle PQR$ , entonces $\triangle PQR\cong\triangle ABC$ .
(iii) Si $\triangle ABC\cong\triangle PQR$ y $\triangle PQR\cong\triangle RST$ , entonces, $\triangle ABC\cong\triangle RST$ .

En palabras, la primera afirmación dice en palabras que todo triángulo es congruente a sí mismo. Es decir, la congruencia de triángulos tiene la propiedad reflexiva. La segunda afirmación dice que si un triángulo es congruente a otro triángulo, el segundo es congruente al primero. Es decir, la congruencia de triángulos tiene la propiedad simétrica. La tercera afirmación dice que si un primer triángulo es congruente a un segundo triángulo, y a su vez este segundo triángulo es congruente a otro tercer triángulo, entonces el primero y el tercero son congruentes. Es decir, la congruencia entre triángulos tiene la propiedad transitiva.

Semejanza de figuras

Dos figuras geométricas son semejantes si tienen los mismos ángulos internos (uno a uno) y sus lados correspondientes tienen la misma proporción.

Cuando decimos que dos figuras son semejantes queremos decir que ambas tienen la misma forma, pero tal vez una es escala de la otra. Los siguientes dos triángulos son semejantes:

y matemáticamente lo vamos a denotar por:

$\begin{equation*} \triangle ABC\sim\triangle A'B'C' \end{equation*}$

Otra forma de definir la semejanza entre dos triángulos es la siguiente:

Semejanza de triángulos

Si los triángulos $\triangle ABC$ y $\triangle A'B'C'$ satisfacen:

$\begin{equation*} \frac{|\segm{AB}|}{|\segm{A'B'}|} = \frac{|\segm{BC}|}{|\segm{B'C'}|} = \frac{|\segm{AC}|}{|\segm{A'C'}|} \end{equation*}$

entonces, $\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$ .

También podemos verificar que dos triángulos son semejantes si dos de sus ángulos internos son iguales uno a uno. En la figura donde se muestran los triángulos $\triangle ABC$ y $\triangle A'B'C'$ , los ángulos satisfacen: $\angle BAC = \angle B'A'C'$ , $\angle ABC = \angle A'B'C'$ , y $\angle ACB = \angle A'C'B'$ .

Ejemplo 1

Verifica si los triángulos siguientes son semejantes:

Dado que los ángulos son congruentes uno a uno, se concluye que los triángulos son semejantes.

Observa que el tercer ángulo (de cada triángulo) es el suplemento de $40\textdegree + 60\textdegree = 100\textdegree$ , pues la suma de los tres ángulos internos del triángulo es igual a $180\textdegree$ .

Ejemplo 2

Verifica si los siguientes triángulos son semejantes:

En este caso, es obvio que hay un ángulo congruente en ambos triángulos, pues en ambos triángulos hay un ángulo que mide $30\textdegree$ . Por otra parte, ambos triángulos son isósceles, pues cada lado del ángulo que mide $30\textdegree$ tienen la misma longitud en los dos trángulos. Entonces esos lados son proporcionales:

$\begin{equation*} \textcolor{red}{\frac{4}{6}} = \textcolor{red}{\frac{4}{6}} = \frac{2}{3} \end{equation*}$

Por lo que los triángulos son semejantes.

Ejemplo 3

Verifica si los triángulos $\triangle ABC$ y $\triangle A'B'C'$ con lados $|\segm{AB}| = 5$ , $|\segm{BC}| = 3$ , $|\segm{AC}| = 4$ , $|\segm{A'B'}| = 15$ , $|\segm{B'C'}| = 9$ , $|\segm{A'C'}| = 12$ , son semejantes.

Ahora utilizaremos la definición que dimos de triángulos semejantes:

$\begin{array}{ccccccc} \textcolor{red}{\displaystyle\frac{|\segm{AB}|}{|\segm{A'B'}|}} & = & \textcolor{blue}{\displaystyle\frac{|\segm{BC}|}{|\segm{B'C'}|}} & = & \textcolor{cyan}{\displaystyle\frac{|\segm{AC}|}{|\segm{A'C'}|}} & & \\ \textcolor{red}{\displaystyle\frac{5}{15}} & = & \textcolor{blue}{\displaystyle\frac{3}{9}} & = & \textcolor{cyan}{\displaystyle\frac{4}{12}} & = & \displaystyle\frac{1}{3}\textcolor{white}{\displaystyle\frac{\frac{1}{x}}{x}} \end{array}$

Como se cumple la igualdad, concluimos que: $\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$ . Observa que pudimos utilizar:

$\begin{array}{ccccccc} \textcolor{red}{\displaystyle\frac{|\segm{A'B'}|}{|\segm{AB}|}} & = & \textcolor{blue}{\displaystyle\frac{|\segm{B'C'}|}{|\segm{BC}|}} & = & \textcolor{cyan}{\displaystyle\frac{|\segm{A'C'}|}{|\segm{AC}|}} & & \\ \textcolor{red}{\displaystyle\frac{15}{5}} & = & \textcolor{blue}{\displaystyle\frac{9}{3}} & = & \textcolor{cyan}{\displaystyle\frac{12}{4}} & = & 3\textcolor{white}{\displaystyle\frac{\frac{1}{x}}{x}} \end{array}$

por la propiedad simétrica de la semejanza de triángulos y concluir el mismo resultado.

Ejemplo 4

Verifica si los siguientes triángulos son semejantes:

Empezamos observando que hay un ángulo congruente en ambos triángulos, debido a que es opuesto por el vértice. Ahora vemos inmediatamente que el lado horizontal del triángulo de la izquierda mide el doble que el lado correspondiente del otro triángulo.

Nos falta ver que el lado inclinado del primer triángulo (de la izquierda) mida exactamente el doble que el de la derecha. Observa que: $\sqrt{52} = \sqrt{(4)(13)} = 2\,\sqrt{13}$ . Es decir, el lado inclinado del triángulo de la izquierda mide el doble del lado que le corresponde del triángulo de la derecha. Entonces, los triángulos son semejantes.

Como puedes ver los tres criterios de congruencia entre triángulos se pueden extender a criterios de semejanza de triángulos como se enlistan enseguida:

Si dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos ángulos de otro triángulo, los dos triángulos son semejantes.
Si un ángulo de un triángulo es congruente con el ángulo de otro triángulo, y además los lados del ángulo considerado en cada triángulo son proporcionales, entonces los dos triángulos son semejantes.
Si las longitudes de los lados de un triángulo son proporcionales a las longitudes de los lados de otro triángulo, entonces los dos triángulos son semejantes.

lo único que hemos hecho es cambiar la palabra congruente por proporcional cuando se refiere a la longitud de uno o varios lados de los triángulos. Ahora podemos aplicar los tres criterios para determinar si dos triángulos son semejantes.

Ejemplo 5

Expresa los tres criterios de semejanza de triángulos como teoremas.

Primer criterio:

Teorema

Si dos ángulos de un triángulo son congruentes con los de otro triángulo, entonces los triángulos son semejantes.

Porque si se conocen $\alpha$ y $\beta$ , el otro ángulo debe medir $180\textdegree - \alpha - \beta$ . Entonces los tres ángulos de cada triángulo son congruentes y los triángulos son semejantes.

Segundo criterio:

Teorema

Si uno de los ángulos de un triángulo es congruente con un ángulo de otro segundo triángulo, y los lados de cada uno de estos ángulos son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes.

Porque al ser proporcionales los lados del triángulo y el ángulo entre ellos congruente, se tiene que uno es escala del otro, y el tercer lado de los triángulos queda proporcional, quedando los otros ángulos faltantes congruentes entre los triángulos.

Tercer criterio:

Teorema

Si las longitudes de los lados de un triángulo son proporcionales a las longitudes de los lados de un segundo triángulo, los dos triángulos son proporcionales.

Porque uno es escala del otro.

TAREA PARA ENTREGAR EL VIERNES 18.

Congruencia y Semejanza de triángulos (932)

1. Observa el romboide, donde los triángulos RJU y HJT son congruentes. Aplicando los criterios de congruencia de triángulos, calcula ¿cuánto miden los ángulos JHT y JRU, respectivamente?

A) 163° y 142°
B) 197° y 163°
C) 17° y 21°
D) 38° y 17°

2. Observa la figura donde se muestra dos triángulos semejantes, si los datos corresponden a la medida del piso hasta el tablero de básquetbol y "x" representa a Juan parado sobre el piso entonces, ¿cuál debe ser el tamaño de "x"?

A) 0.61m
B) 1.31m
C) 1.63m
D) 0.76m

3. En el dibujo se representa a una palmera con su Sombra en el piso, las medidas que se pueden obtener directamente están marcadas en el dibujo. Usando estos datos, ¿cuál es la altura de la palmera representada por la letra "x"?

A) 18.0
B) 8.5
C) 9.5
D) 12.0

4. En dibujo representa el marco de una ventana, reforzada con varillas que forman triángulos semejantes, ¿cuánto mide la base de la ventana? (x)

A) 19.0 cm
B) 28.6 cm
C) 25.3 cm
D) 33.0 cm

5. En la alameda de mi colonia trazaron sobre el jardín central, varias figuras geométricas rellenas de flores. Entre ellas destacan dos que son semejantes entre sí, ambas son triángulos. La base del más grande es de 15m y su altura es de 7m. Si la base homóloga del otro mide 3.75m, ¿cuál es la altura que tiene este otro triángulo? (Aproxima el resultado a centésimos)

A) 1.86 m
B) 1.75 m
C) 4.00 m
D) 2.14 m

6. ¿Cuál de los siguientes triángulos es semejante a un triángulo isósceles con dos lados de tamaño 12 y el otro de tamaño 6?

A) Opción C
B) Opción A
C) Opción B
D) Opción D

7. Observa el triángulo de la parte superior

A) Triángulo D
B) Triángulo A
C) Triángulo C
D) Triángulo B

8. Utilizando las propiedades de triángulos semejantes, encuentra el valor de "X"

A) 18.2
B) 22.5
C) 30
D) 20

9. ¿Cuál es el valor de X en la figura que se muestra?

A) 33.75
B) 40
C) 28.30
D) 36

10. Aplica las propiedades de los triángulos semejantes y encuentra el valor de X

A) 24.32
B) 36
C) 28.8
D) 32

11. Aplicando las propiedades de triángulos semejantes, encuentra el valor de X

A) 80
B) 90
C) 100
D) 70

un ángulo de 13°

Pueden ser semejantes dos triángulos rectángulos,

si uno tiene un ángulo de 82° y el otro tiene

Si pueden

No pueden

No se puede determinar

su altura si una persona de 1.68m proyecta una

sombra de 4.98m

Si un árbol proyecta una sombra de 14m. Determina

41.5m

1.78m

4.72m

5m

su sombra si una persona de 1.75m proyecta una

sombra de 0.75m

Si un árbol tiene una altura de 5m. Determina

2.14m

11.67m

6.56m

2m

Para calcular el ancho del río, dos ingenieros, obtuvieron las siguientes 

medidas. Obtén la medida del ancho de río:

x=38.8m

64.1m

x=46m

x=82m

Para hallar la altura de un asta bandera, un joven cuyos ojos se

encuentran a 1.65m del suelo, coloca una vara de 3m de largo 

clavada en el piso a 15m de distancia del asta. Entonces, 

retrocediendo 2.55m, encuentra que puede ver la punta del asta 

alineada con la punta de la vara. ¿Cuál es la altura del asta?

x=9.29m

x=7.64m

x=10.94m

x=20.45m

REACTIVOS EXAMEN TIPO PLANEA

1. Antes de encender un congelador el termómetro marcaba una temperatura de 25° y después de encenderlo durante cinco horas la temperatura bajó 33°. ¿Qué temperatura marcó el termómetro después de estar encendido cinco horas?

A) 8o

B) -8o

C) 58o

D) -58o

2. Una foto de 32 cm se redujo de tamaño y ahora mide 8 cm. ¿Cuál es la razón matemática que se utilizó en esta reducción?

A)	32	C)	8
A)	8	C)	32
	8		32
B)	4	D)	32
	32		4

3. ¿Con qué número se completa

correctamente esta tabla?

Figura	Lados			Suma de sus
Figura	Lados		ángulos internos
			ángulos internos
Triángulo	3			180°
Hexágono	6
A) 540°		C)360°
B) 720°		D) 1 080°

4. Una persona realizará un viaje. Tiene la opción de ir a Acapulco, Veracruz o Mazatlán; puede hacerlo en avión, automóvil o camión, por la mañana o por la noche. ¿Cuál es el diagrama de árbol que muestra todas las opciones posibles?

5. Juan adquiere un televisor de $4 000.00 en pagos. El pago por mes será de $50.00 durante 80 meses. ¿Cuál opción muestra la mensualidad a pagar, si desea hacerlo en 40 o 20 meses?

	Meses	Mensualidad		Meses	Mensualidad
	80	$50.00		80	$50.00
A)	40	$100.00	C)	40	$25.00
	20	$200.00		20	$12.50

B)	Meses	Mensualidad	D)	Meses	Mensualidad
B)	80	$50.00	D)	80	$50.00
	40	$90.00		40	$90.00
	20	$130.00		20	$110.00
	20	$130.00		20	$110.00

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