MATE 1. Semana del 28 enero al 1 febrero 2019.
BLOQUE :
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EJE:
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Número, álgebra y variación
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TEMA:
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Proporcionalidad
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SUBTEMAS:
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15.
Proporcionalidad directa
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APRENDIZAJES ESPERADOS
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Calcula valores faltantes en problemas de proporcionalidad directa,
con constante natural, fracción o decimal
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Si un árbol de aguacates produce en promedio 25 kilogramos de fruto en cadaperiodo de cosecha, ¿cuántos kilogramos de fruto producirán 3 árboles deaguacates en cada periodo? ¿Cuántos kilogramos de fruto producirán 8 árboles?Elabora en tu cuaderno una tabla en la que se ilustre cómo aumenta la producciónde aguacates cuando se tienen entre 1 y 15 árboles
¿Qué relación podemos ver entre el número de plátanos y el número de cajas que necesitamos para guardarlos?
Podréis observar que cuantos más plátanos tenemos más cajas necesitamos, ¿verdad? Estas dos magnitudes mantienen una relación proporcionalmente directa.
Es importante saber que el cociente (razón o proporción) entre dos magnitudes directamente proporcionales es siempre constante. En nuestro ejemplo tenemos que la razón es 3.
Las relaciones de proporcionalidad aparecen con mucha frecuencia en nuestra vida cotidiana.
Magnitudes directamente proporcionales: Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar o disminuir una, la otra aumenta o disminuye en la misma proporción. Ej.: El peso y el precio. Si aumentamos el peso de un producto el doble, el triple, etc., su precio también aumenta el doble, el triple, etc. Podemos construir una tabla de valores:
Entre los términos correspondientes de las dos magnitudes de esta tabla se establece una proporcionalidad de la siguiente manera:
Cada una de estas fracciones se llama razón y al término que está arriba se le llama antecedente y al que está abajo,consecuente.
[La razón se diferencia de la fracción en que los términos de la primera pueden ser decimales, mientras que los de la fracción han de ser enteros].
Constante de proporcionalidad directa: Es el número que se obtiene al dividir el antecedente entre el consecuente de cualquiera de las razones que se forman entre dos magnitudes directamente proporcionales.
Así, en el ejemplo de arriba, la constante de proporcionalidad del peso con respecto al precio es 0,3 (con el 3 como período), resultado de dividir 1 entre 3 ó 2 entre 6 ó 3 entre 9, etc.
[Se utiliza para calcular el término desconocido de una magnitud multiplicando el término correspondiente conocido de la otra magnitud por la constante de proporcionalidad. Así, por ejemplo, en las razones 1/3 = 2/6 = 3/9 la constante de proporcionalidad del peso con respecto al precio es 0,3 e indica que el peso está en razón 1/3, esto es 0,3, y significa que hay que multiplicar el precio por la constante de proporcionalidad, por 0,3, para obtener el peso correspondiente, porque a 1 € le corresponde 0,3 kg y, por eso, a la cantidad 3 € la multiplico por 0,3 y obtengo el peso correspondiente, 1 kg . Pero también podemos interpretar la razón del precio con respecto al peso, en cuyo caso las razones serían 3/1 = 6/2 = 12/4, etc. Ahora la constante de proporcionalidad sería 3 y significaría que hay que multiplicar 3 por el peso para obtener el precio. Por ejemplo, si la cantidad 4 kg la multiplico por 3 obtengo 12 €, que es la cantidad correspondiente a la segunda magnitud, los euros. Esto quiere decir que 1 kg cuesta 3 €].
Proporción: Una proporción es la igualdad entre dos razones.
Propiedad fundamental de las proporciones: En una proporción el producto de extremos es igual al producto de medios.
Cuarto proporcional: De los cuatro términos de una proporción, si se desconoce uno de ellos se le llama cuarto proporcional.
Para calcular el cuarto proporcional se utiliza la propiedad fundamental de las proporciones: 4 · x = 12 · 6. Para saber qué número multiplicado por 4 me da 72 tengo que dividir 72 entre 4. Por lo tanto:
Proporción continua: La que tiene sus medios o sus extremos iguales.
Para calcular el medio proporcional se utiliza la propiedad fundamental de las proporciones:
Problemas de proporcionalidad directa (Regla de Tres)
Problema.: Si 3 kg de naranjas cuestan 4,5 €, ¿cuánto cuestan 4 kg ?
a) Resolución por Reducción a la unidad: Se trata de hallar cuánto vale 1 kg de naranjas y luego se multiplica por 4.
4,5 : 3 = 1,5 € (1 kg cuesta 1,5 €) 1,5 · 4 = 6 €
[Se trata de calcular el término de la segunda magnitud que corresponde a una unidad de la primera, dividiendo el término dado de la segunda magnitud entre el dado de la primera, y después se multiplica por las unidades que te pidan.] [En definitiva, hay que calcular la constante de proporcionalidad].
b) Resolución por Regla de tres: Si te dan tres datos y te piden que calcules un cuarto, se forma una proporción con los cuatro y aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones para hallar el término desconocido.
[Se forman dos razones equivalentes, que constituyen una proporción, y aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones (producto de extremos igual a producto de medios) para calcular el término desconocido. Se trata de hallar el cuarto proporcional.]
¿Qué es la regla de 3 simple?
La regla de 3 simple es una operación que nos ayuda a resolver rápidamente problemas de proporcionalidad, tanto directa como inversa.
Para hacer una regla de 3 simple necesitamos 3 datos: dos magnitudes proporcionales entre sí, y una tercera magnitud. A partir de estos, averiguaremos el cuarto término de la proporcionalidad.
Regla de 3 simple directa
Empezaremos viendo cómo aplicarla en casos de proporcionalidad directa.
Colocaremos en una tabla los 3 datos (a los que llamamos “a”, “b” y “c”) y la incógnita, es decir, el dato que queremos averiguar (que llamaremos “x”). Después, aplicaremos la siguiente fórmula:
PORCENTAJES:
El porcentaje de una cantidad significa las partes que tomaríamos de esa cantidad si la dividiéramos en 100 partes iguales. Así, por ejemplo, el 4 % de 50 es la cantidad que resulta al dividir 50 en 100 partes iguales y de estas cien partes tomar 4 (haciendo los cálculos, el 4 % de 50 es 2).
Cálculo de porcentajes:
a) El porcentaje como fracción: Para calcular el porcentaje de algo se opera como si fuera la fracción centésima de ese algo.
b) El porcentaje como regla de tres: Si consideramos el porcentaje como una regla de tres, ponemos dos columnas y colocamos los datos que nos den en dos filas, interpretándolos adecuadamente.
Ejemplo: Calcular el 4 % de 50.
Ejemplo (Calcular una cantidad conociendo el porcentaje): El 15 % de una cantidad es 9. ¿Cuál es esa cantidad?
Aumentos porcentuales: Para resolver los problemas de aumentos porcentuales se puede proceder de dos maneras:
Ejemplo: Un frigorífico de 430 € lo han subido el 10 %. ¿Cuánto cuesta ahora?
a) Se calcula el porcentaje de aumento y se suma a la cantidad inicial.
b) Se puede calcular por regla de tres de la siguiente manera (Si algo aumenta el 10 % quiere decir que si costaba 100 ahora costará 110):
Disminuciones porcentuales: Para resolver los problemas de disminuciones porcentuales se puede proceder de dos maneras:
Ejemplo: Un frigorífico de 430 € lo han rebajado el 10 %. ¿Cuánto cuesta ahora?
a) Se calcula el porcentaje de descuento y se resta a la cantidad inicial.
b) Se puede calcular por regla de tres de la siguiente manera (Si algo disminuye el 10 % quiere decir que si costaba 100 ahora costará 90):
Aumentos y disminuciones porcentuales con calculadora: Para calcular con calculadora cuánto me costará algo que ha subido o disminuido, por ejemplo, un 8 % se multiplica la cantidad inicial por 1,08 (1 + 0,08), si ha aumentado, o por 0,92 (1 – 0,08) si ha disminuido.
Ejemplo: Un señor cobra 1300 € mensuales y le han subido un 8 %. ¿Cuánto cobrará ahora?
1300 · 1,08 = 1404 €
Ejemplo: Un vestido de 350 € lo han rebajado un 8 %. ¿Cuánto cuesta ahora?
350 · 0,92 = 322 €
Ejercicios de Proporcionalidad Directa
Existen dos variables, si una de las variables aumenta (x), la otra también aumenta (y); y si una de las variables disminuye (x), la otra también disminuye.
Variables se refiere a las cantidades que van variando en cada renglón en cada columna.Utilizando otras palabras diremos que dos cantidades a y b son Directamente Proporcionales si al aumentar o disminuir una de ellas, la otra aumenta o disminuye el mismo número de veces.
Su gráfica es siempre una línea recta que pasa por el origen.
1. De los siguientes pares de magnitudes, ¿cuáles son directamente proporcionales? a) Lado del cuadrado y su superficie. b) Lado del cuadrado y su perímetro. c) Edad y altura de las personas
Problema de proporcionalidad:
2. Al llegar al hotel nos han dado un mapa con los lugares de interés de la ciudad, y nos dijeron que 5 centímetros del mapa representaban 600 metros de la realidad. Hoy queremos ir a un parque que se encuentra a 8 centímetros del hotel en el mapa. ¿A qué distancia del hotel se encuentra este parque?
Calcular el término desconocido de las siguientes proporciones:
2. Dos ruedas están unidas por una correa transmisora. La primera tiene un radio de 25 cm y la segunda de 75 cm. Cuando la primera ha dado 300 vueltas, ¿cuántas vueltas habrá dado la segunda?
3. Con 12 botes conteniendo cada uno ½ kg de pintura se han pintado 90 m de reja de 80 cm de altura. Calcular cuántos botes de 2 kg de pintura serán necesarios para pintar una reja similar de 120 cm de altura y 200 metros de longitud.
4. Seis personas pueden vivir en un hotel durante 12 días por 792 €. ¿Cuánto costará el hotel de 15 personas durante ocho días?
5. De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje?
6. Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un descuento del 7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?
7. Un automóvil recorre 15 km por litro de gasolina ¿Cuántos kilómetros recorrerá con 15, 25 y 35 litros de gasolina? Haz una tabla de valores y su gráfica correspondiente.
8. Hemos comprado 3 kg de manzanas y nos han cobrado 3,45 euros. ¿Cuánto costará 1 kg, 2 kg y 5 kg? Realiza una tabla de valores
9. En cincuenta litros de agua de mar hay 1300 gramos de sal común NaCl. ¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5200 gramos de sal?
10. María, Rosa y Clara han cobrado por un trabajo 34.400 euros. Rosa ha trabajado 7 horas, María 5 horas y Clara 4 horas. ¿Qué sueldo le corresponde a cada una proporcional a su trabajo?
