MATE 3. Semana del 9 al 13 septiembre 2019
Criterios de congruencia
Los criterios de congruencia nos muestran la mínima información necesaria para afirmar que dos triángulos son congruentes. Nos permiten identificar, con la información disponible, si dos triángulos son o no congruentes entre sí.
Primer criterio de congruencia: LLL
Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales.
AB ≅ DE
AC ≅ DF
BC ≅ EF
ABC ≅ DEF
Segundo criterio de congruencia: LAL
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos respectivamente iguales.
AB ≅ DE
BC ≅ EF
< B ≅ < E
Tercer criterio de congruencia: ALA
Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales un lado y los dos ángulos adyacentes a ese lado.
< B ≅ < E
< C ≅ < F
BC ≅ EF
ABC ≅ DEF
AB ≅ DE
AC ≅ DF
BC ≅ EF
ABC ≅ DEF
Segundo criterio de congruencia: LAL
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos respectivamente iguales.
AB ≅ DE
BC ≅ EF
< B ≅ < E
Tercer criterio de congruencia: ALA
Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales un lado y los dos ángulos adyacentes a ese lado.
< B ≅ < E
< C ≅ < F
BC ≅ EF
ABC ≅ DEF
| II.2 Congruencia de triángulos. |
| Dos triángulos son congruentes si tienen sus lados y sus ángulos correspondientes iguales. |
| Primer criterio de congruencia de triángulos. Proposición I.4 Dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos iguales, son congruentes. A este criterio de congruencia se le llama lado-ángulo-lado, y lo denotamos por LAL. |
| Segundo criterio de congruencia de triángulos. Proposición I.8 Dos triángulos con tres lados iguales, son congruentes. A este criterio se le conoce como lado-lado-lado, y lo denotamos por LLL. |
| Tercer criterio de congruencia de triángulos. Proposición I.26 Dos triángulos con un lado igual y dos ángulos adyacentes iguales, son congruentes. A este criterio se le conoce como ángulo-lado-ángulo, y lo denotamos por ALA. |
Criterios de semejanza de dos triángulos
- Que tengan dos ángulos iguales. (El tercero lo será, porque los tres tienen que sumar 180°).
Si α = α’ y β = β’, entonces los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes. - Que tengan dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos sea igual.
Entonces:
Y, además, α = α’, entonces los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes. - Que tengan sus tres lados correspondientes proporcionales.
Entonces:
Tenemos también que los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes.
TAREA PARA ENTREGAR EL VIERNES 13
1. En una fotografía, María y Fernando miden 2,5 cm y 2,7 cm, respectivamente; en la realidad, María tiene una altura de 167,5 cm. ¿A qué escala está hecha la foto? ¿Qué altura tiene Fernando en la realidad?
2. En un mapa, de escala 1:250 000, la distancia entre dos pueblos es de 1,3 cm.
a) ¿Cuál es la distancia real entre ambos pueblos? b) ¿Cuál sería la distancia en ese mapa, entre otros dos pueblos que en la realidad distan 15 km?
3. Calcula la altura de una casa sabiendo que en un determinado momento del día proyecta una sombra de 3,5 m y una persona que mide 1,87 m tiene, en ese mismo instante, una sombra de 85 cm.
4. Una piscina tiene 2,3 m de ancho; situándonos a 116 cm del borde, desde una altura de 1,74 m, observamos que la visual une el borde de la piscina con la línea del fondo. ¿Qué profundidad tiene la piscina?
5. Dos caminos que son paralelos entre sí, se unen por dos puentes, los cuales se cruzan por un punto O, como se muestra en la figura.
Considerando las medidas que se muestran, ¿cuál es la longitud total de cada puente?
6. Para medir la altura de una montaña, Pedro de 182 cm de altura, se sitúa a 2,3 m de un árbol de 3,32 m situado entre él y la montaña, de forma que su copa, la cima de dicha montaña y los ojos de Pedro se encuentran en línea. Sabiendo que Pedro se encuentra a 138 m del pie de la montaña, calcula la altura de la montaña.
7. Construir los siguientes triángulos de acuerdo a los datos proporcionados.
1
a) lado a: 9cm
b) lado b: 12 cm
c) lado c: 6 cm
2. lados:
a= 10 cm y b= 7 cm y el ángulo comprendido entre ellos 50 grados
3. ángulo A = 25 grados, ángulo B = 50 grados y el lado comprendido entre ellos = 10 cm
8. ¿Son ciertas las siguientes afirmaciones? Razona la respuesta:
a) Dos triángulos equiláteros son siempre semejantes.
b) Dos triángulos rectángulos isósceles son siempre semejantes
c) Si unimos los puntos medios de un cuadrado obtenemos otro cuadrado que no es semejante al anterior.
d) El triángulo de lados 3, 5 y 7 cm es semejante a otro de lados 7,5; 12,5 y 16,8 cm
