MATE 1. Semana del 29 abril al 3 mayo 2019
BLOQUE :
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3
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EJE:
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Número, álgebra y variación
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TEMA:
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Funciones
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SUBTEMAS:
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27. Razón
de cambio
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APRENDIZAJES
ESPERADOS
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Analiza y compara situaciones de variación lineal a partir de sus
representaciones tabular, gráfica y algebraica. Interpreta y resuelve
problemas que se modelan con estos tipos de variación.
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Intenciones didácticas: A partir de cierta información, que los alumnos construyan tablas y gráficas y que a partir de éstas, relacionen cantidades y obtengan nueva información.
1. Función de proporcionalidad directa
Definición: Se llama función de proporcionalidad directa o, simplemente, función lineal a cualquier función que relacione dos magnitudes directamente proporcionales (x,y).
Su ecuación tiene la forma y = mx EJEMPLO y = 3x
El factor m es la constante de proporcionalidad y recibe el nombre de pendiente de la función (o razón de cambio), porque indica la inclinación de la recta que la representa gráficamente.
Recuerda: dos magnitudes son directamente proporcionales si su cociente es constante.
Ejemplo si y = 3x entonces m = y/x = constante
En la siguiente tabla se muestra el tiempo que ha recorrido un auto y su distancia correspondiente. Nótese que las dos magnitudes (tiempo y distancia) son directamente proporcionales ya que su cociente siempre es igual a 50, por lo que su constante de proporcionalidad k ó m, también llamada pendiente, es igual a 50 como ya lo habíamos calculado.
Representación gráfica
Como has visto, las funciones lineales se representan gráficamente como líneas rectas. Además, como y=mx, si x=0 entonces y=0; por lo tanto la gráfica de todas las funciones lineales pasa por el punto (0,0). Para dibujar la gráfica basta con obtener las coordenadas de otro punto, dando un valor arbitrario a la x y unir ese punto con el origen de coordenadas (0,0). Si x=1, entonces y=m, por tanto m representa la variación de la y por cada unidad de x, es decir, la inclinación o pendiente de la recta. Si m es positiva, representa la cantidad que sube la y por cada unidad de x y si m es negativa la cantidad que baja.
Definición: Se llama función de proporcionalidad directa o, simplemente, función lineal a cualquier función que relacione dos magnitudes directamente proporcionales (x,y).
Su ecuación tiene la forma y = mx EJEMPLO y = 3x
El factor m es la constante de proporcionalidad y recibe el nombre de pendiente de la función (o razón de cambio), porque indica la inclinación de la recta que la representa gráficamente.
Recuerda: dos magnitudes son directamente proporcionales si su cociente es constante.
Ejemplo si y = 3x entonces m = y/x = constante
En la siguiente tabla se muestra el tiempo que ha recorrido un auto y su distancia correspondiente. Nótese que las dos magnitudes (tiempo y distancia) son directamente proporcionales ya que su cociente siempre es igual a 50, por lo que su constante de proporcionalidad k ó m, también llamada pendiente, es igual a 50 como ya lo habíamos calculado.
X
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Tiempo (horas)
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1
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2
|
3
|
4
|
5
|
6
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Y
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Distancia (km)
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50
|
100
|
150
|
200
|
250
|
300
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K= m
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K = y/x
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50/1 =50
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100/2= 50
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150/3= 50
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200/40= 50
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250/5= 50
|
300/6= 50
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Representación gráfica
Como has visto, las funciones lineales se representan gráficamente como líneas rectas. Además, como y=mx, si x=0 entonces y=0; por lo tanto la gráfica de todas las funciones lineales pasa por el punto (0,0). Para dibujar la gráfica basta con obtener las coordenadas de otro punto, dando un valor arbitrario a la x y unir ese punto con el origen de coordenadas (0,0). Si x=1, entonces y=m, por tanto m representa la variación de la y por cada unidad de x, es decir, la inclinación o pendiente de la recta. Si m es positiva, representa la cantidad que sube la y por cada unidad de x y si m es negativa la cantidad que baja.
Función lineal
y = mx
Como otras funciones, las funciones proporcionales pueden ser descritas y exploradas usando tablas y conjuntos de pares ordenados. Veamos cómo las tablas de funciones proporcionales pueden ser útiles.
Mary trabaja en un puesto cerca de la granja familiar, vendiendo huevos a $1.99 por cartón los fines de semana. Cuando los clientes compran muchos cartones, ella tiene que sumar los totales con lápiz y papel, y le preocupa cometer errores. Por suerte, ésta es una relación proporcional — la salida (costo total) es igual a la entrada (número de cartones) multiplicada por una constante (el precio por cartón). Mary puede usar una función proporcional para obtener una tabla de precios.
Número de cartones
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Precio total
|
Ahora sólo tiene que utilizar la ecuación para calcular los valores y llenar la tabla. Recuerda, la ecuación de la función proporcional es y = kx. Por lo que en éste caso, costo total = precio del cartón • número de cartones. Costo total = 1.99 • número de ctambién escribir las entradas y salidas posibles de ésta función como pares ordenados. Un cartón de huevos cuesta $1.99 y puede ser representado como (1, 1.99). Dos cartones cuestan $3.98, o (2, 3.98), y así sucesivamente.
(1, 1.99)
(2, 3.98)
(3, 5.97)
(4, 7.96)
(5, 9.95)
(6, 11.94)
Nota que en cada par ordenado el valor de y es 1.99 veces el valor de x.
Funciones Proporcionales en Gráficas
Cuando las funciones proporcionales son graficadas, muestran algunas características distintivas — todas las funciones proporcionales son una línea recta que pasa a través del origen.
Grafiquemos la función costo/cartón que hemos estado discutiendo.
Ésta es una función discreta — está hecha de puntos individuales, porque el puesto de la granja sólo vende cartones de huevo completos. Pero podemos ver que todos los puntos están espaciados de manera uniforme, y aparentemente forman una línea recta. También podemos ver que a pesar de no estar graficado, el punto (0,0) satisface la función — el costo de 0 cartones sería de $0.
Sumario
En una función proporcional, la salida es igual a la entrada multiplicada por una constante. La constante describe la tasa con la que las variables cambian. Como ésta tasa, o constante de variación, no cambia, las funciones proporcionales tienen una ecuación y una gráfica distintivas. Todas las funciones proporcionales tienen la fórmula y = kx y forman una línea recta que termina o pasa por el origen.
TAREA PARA ENTREGAR EL VIERNES 3 MAYO
| 1.- Los tres hermanos Pérez asistieron al cine. El boleto de entrada cuesta $50.00: a) ¿Cuánto pagaron por las tres entradas? ________________ b) Si cada uno llevó un invitado, ¿cuánto se pagó en total para que todos entraran? _________ c) Si además asistieron los padres de los hermanos Pérez, ¿cuánto se pagó por todos? ______ A partir de la información anterior, completen la siguiente tabla:  Con los datos obtenidos en la tabla anterior, tracen la gráfica correspondiente.(AQUI VA LA GRAFICA) Observen la gráfica y contesten: a) ¿Cuánto se pagará por cinco personas? _____________ b) ¿Cuánto se pagará por nueve personas? _____________ 2.- Analicen la siguiente gráfica que muestra los cambios en el precio de un artículo durante los primeros meses del año, posteriormente den respuesta a las preguntas  a) ¿Cuánto varió el precio del primero al tercer mes? __________________________ b) ¿Cuánto varió el precio del primero al cuarto mes? _________________________ c) Suponiendo que el incremento fue el mismo cada mes, ¿cuánto varió el precio del tercero al sexto mes? _____________________________ d) ¿Cuál es el incremento mensual del precio del artículo? _________________________ e) Si el primer mes corresponde a enero, ¿cuál es el precio del artículo en marzo? __________ f) Si el incremento fue el mismo cada mes, ¿cuál será el precio del artículo en diciembre? ________________________ g) Respecto al inciso a, encuentren el cociente del incremento en el precio entre el número de meses, es decir la “razón de cambio”. Encuentren la razón de cambio en los incisos b y c y compárenla con la del inciso a. ¿Cómo son? ________________________________________ RECUERDEN QUE LA RAZÓN DE CAMBIO SE OBTIENE POR MEDIO DE: 
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5.
Se plantea la siguiente situación:
El gobierno
mexicano decidió renovar su flota de patrullas federales. Para esto se
hicieron pruebas de velocidad y rendimiento a diferentes marcas de
automóviles. En este estudio se compararon las velocidades máximas alcanzadas
por los autos y el rendimiento de los mismos. Además de que se compararon con
las marcas de automóviles más utilizadas por la delincuencia.
La tabla siguiente muestra las velocidades
máximas alcanzadas y rendimiento por las distintas marcas de los autos
considerados en estas pruebas .
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1. Situación: Se presentó un asalto en un banco de la
Ciudad de México, cerca de la carretera federal 15. Los asaltantes, que
contaban con una camioneta Gran Cherokiee se dispusieron a huir a máxima
velocidad por esta ruta. Cuando las autoridades federales llegaron a la escena
del crimen, los delincuentes ya les llevaban 30 minutos de
ventaja.
a)
Completa la tabla siguiente con los valores
de distancia vs tiempo considerando la situación planteada y los valores de las
velocidades de los automóviles en cuestión.
Crysler Grand Cherokiee
|
Dodge Charger
|
||
Tiempo (hrs)
|
Distancia (km)
|
Tiempo (hrs)
|
Distancia (km)
|
1
hora
|
250
|
||
600 km
|
|||
1000km
|
|||
5 horas
|
|||
a)
En un plano cartesiano construye las gráficas
que modelen la relación de tiempo vs distancia de cada uno de los autos.
(Utiliza hojas milimétricas)
b)
Elabora una gráfica donde se modele la
situación planteada en el problema y contesta las siguientes preguntas.
- ¿Qué figura geométrica identificas en
las gráficas anteriores?
·
¿En
qué punto se intersecan las dos rectas?
- ¿A qué distancia le dio alcance la
patrulla a la camioneta?
- ¿En qué tiempo alcanzaron la policía federal a los asaltantes? Realiza la gráfica de todos los automóviles en un solo plano (tiempo-distancia)
·
¿La
inclinación de las rectas qué relación tienen con las velocidades de los autos?
2.
6. Para pintar un edificio de departamentos, se necesita comprar pintura de diferentes colores, si con el tipo de pintura seleccionada se cubren
a) Anoten las cantidades que faltan en la tabla.
m2
|
30
|
48
|
72
|
120
|
180
|
240
|
litros
|
b)¿Qué expresión algebraica permite conocer la cantidad de litros cuando se conoce el número de metros cuadrados por cubrir? _______
____
7. ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones representan funciones proporcionales?
Ecuación 1: 
Ecuación 2: 
Ecuación 3: 
Ecuación 4: 
A) La Ecuación 1
B) Las Ecuaciones 2 y 3
C) La Ecuación 4
D) Las Ecuaciones 2 y 4
8. ¿Cuál es la constante de la función mostrada en la tabla?
A) 15
B) 1
C) Distancia
D) Tiempo
_____
9.Completa la siguiente tabla que corresponde al
tiempo que tarda un móvil en recorrer cierta distancia si abemos que su
velocidad es constante y es = 150 km / hr
Tiempo (horas)
|
0
|
1
|
2
|
5
|
||
Distancia (km)
|
600
|
900
|
||||
m= K
|
____
