MATE 3. Semana del 24 al 30 Noviembre 2017

Manejo de la información

Nociones de probabilidad

• Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes y de eventos complementarios (regla de la suma).

Probabilidad

La probabilidad es un método por el cual se obtiene la frecuencia de un acontecimiento determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.

Como hemos comentado anteriormente, la probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se dé un determinado resultado (suceso) cuando se realiza un experimento aleatorio.

La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (o expresados en tanto por ciento, entre 0% y 100%)

El uso más generalizado de la probabilidad es su utilización en el análisis estadístico. Por ejemplo, la probabilidad de sacar 7 al lanzar dos dados es 1/6, lo que significa (se interpreta como) que al lanzar dos dados aleatoria mente y sin hacer trampas, un gran número de veces, alrededor de un sexto de los lanzamientos darán 7. 

También otra forma DE CALCULAR la probabilidad es por uno de los métodos más utilizados es aplicando la Regla de La place: define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles.

P(A) = Casos favorables / casos posibles

ejemplo:

a) Probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 2: el caso favorable es tan sólo uno (que salga el dos), mientras que los casos posibles son seis (puede salir cualquier número del uno al seis). Por lo tanto:

P(A) = 1 / 6 = 0,166 (o lo que es lo mismo, 16,6%)

¿Qué es la probabilidad de ocurrencia?
Es el resultado matemático de los casos deseados sobre los casos posibles.
Es un valor igual o menor que 1.
Si es algo que siempre ocurre, el valor es 1.
Si es algo que nunca podría ocurrir su valor es 0.

Se contabilizan los posibles.(Denominador)
Se contabilizan los casos deseados o favorables que deberían ser menores que los posibles. (numerador)

Se escribe la fracción.

Ej. Probabilidad de caiga una moneda cara
La moneda puede caer con 1 de las 2 caras (cara o número).
Total de casos posibles = 2
El que salga cara es el caso favorable o deseado. (1)
El que salga número es el caso no deseado. (1)

(Caso favorable + caso no favorable = total de casos)


La Probabilidad = caso favorable/casos totales = 1/2
Ej. 2 La probabilidad de que salga 3 el valor de un dado lanzado.
Casos totales: El dado tiene 6 caras, son 6 casos posibles.
Caso favorable: La cara con el número 3 (1 sola cara tiene ese número) = 1

Probabilidad= caso favorable/casos posibles = 1/6

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y EVENTOS COMPLEMENTARIOS

Los eventos complementarios son dos resultados de un evento, siendo éstos los dos únicos resultados posibles.

• Es como lanzar una moneda y que salga cara o cruz. Claro, no hay más opciones, así que estos eventos son complementarios.
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• Lanzar un dado y que salga 1 ó 2 no es complementario, ya que hay otros resultados posibles (3, 4, 5, ó 6).
   
• Sin embargo, lanzar un dado y obtener 1 ó algo diferente a 1 son eventos complementarios (o sacas 1 o no sacas 1).
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Eventos independientes
Se dice que dos sucesos aleatorios son independientes entre sí cuando la probabilidad de cada uno de ellos no está influida porque el otro suceso ocurra o no, es decir, cuando ambos sucesos no están relacionados.
Cuando los eventos no se afectan entre sí, se les conoce como eventos independientes.

Dos sucesos son independientes si la probabilidad de que ocurran ambos simultáneamente es igual al producto de las probabilidades de que ocurra cada uno de ellos

 Evento cuyo resultado no tiene que ver con el resultado de otro(s) evento(s).
Por ejemplo, el resultado de lanzar una moneda, y que caiga de cualquier lado, no depende del resultado de ninguno de los lanzamientos anteriores. Por lo tanto, cada lanzamiento es un evento independiente.

ejemplo:

Situación	Eventos	Por qué los eventos son independientes
Lanzas un dado, y si no sale 6, lanzas de nuevo. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un 6 en el segundo lanzamiento?	El primer lanzamiento no es un 6. El primer lanzamiento es un 6.	El hecho de que el primer lanzamiento no es un 6 no cambia la probabilidad de que el segundo lanzamiento sea un 6. (A algunas personas les gusta decir, "el dando no se acuerda qué sacaste antes.")

 La independencia de sucesos es algo muy importante para la estadística y escondición necesaria en multitud de teoremas. Por ejemplo, una de las primeras propiedades que se deriva de la definición de sucesos independientes es que si dos sucesos son independientes entre sí, la probabilidad de la intersección es igual al producto de las probabilidades.

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y EVENTOS COMPLEMENTARIOS

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Eventos mutuamente excluyentes y eventos complementarios

Los eventos complementarios son dos resultados de un evento, siendo éstos los dos únicos resultados posibles.

• Es como lanzar una moneda y que salga cara o cruz. Claro, no hay más opciones, así que estos eventos son complementarios.
   
• Lanzar un dado y que salga 1 ó 2 no es complementario, ya que hay otros resultados posibles (3, 4, 5, ó 6).
   
• Sin embargo, lanzar un dado y obtener 1 ó algo diferente a 1 son eventos complementarios (o sacas 1 o no sacas 1).

Los eventos mutuamente excluyentes son dos resultados de un evento que no pueden ocurrir al mismo tiempo.

• Sacar una carta de un mazo estándar y que salga un as y un rey son eventos mutuamente excluyentes, ya que no pueden ocurrir los dos al mismo tiempo.
   
• Sin embargo, sacar una carta roja y rey no son eventos mutuamente excluyentes, ya que puedes sacar perfectamente un rey rojo.

Todos los eventos complementarios son mutuamente excluyentes, pero todos los eventos mutuamente excluyentes no son necesariamente complementarios.

Bingo[editar]

Artículo principal: Bingo

El bingo consiste en un bombo con un número determinado de bolas numeradas en su interior (normalmente 75 o 90). Los jugadores juegan con cartones con números aleatorios escritos en ellos, dentro del rango de bolas correspondiente. Un locutor o cantor va sacando bolas del bombo, cantando los números en voz alta. Si un jugador tiene dicho número en su cartón lo tacha, y el juego continua así hasta que alguien consigue marcar todos los números de una línea y el cartón.cuando completa en dicho numero en el cartón el jugador grita BINGO siendo el primero gana el premio mayor

La probabilidad de obtener una línea o el cartón entero depende del número de cartones que están interviniendo en el juego, por lo que dependerá del número de personas que estén jugando así como del número de cartones con que cada participante juegue. Como en este juego se sacan número hasta que alguien “canta bingo”, es decir, posee el cartón con todos los números tachados, la probabilidad depende del número de cartones en juego, así como, del control del jugador sobre sus cartones.

Cara o cruz[editar]

Este sencillo juego, también llamado volado, cara o sello, consiste en lanzar sobre una superficie horizontal una moneda al aire y gana el que eligió la cara vista hacia arriba. Como sólo hay 2 posibles elecciones, la probabilidad de acierto es del 50%.

Dados[editar]

Véase también: Craps

Los sumerios y asirios utilizaban un hueso extraído del talón de animales como ovejas, ciervos o caballos, denominado astrágalo o talus, que tallaban para que pudieran caer en cuatro posiciones distintas, por lo que son considerados como los precursores de los dados. El juego de los dados consiste en lanzar un objeto de forma poliédrica sobre una superficie horizontal. Los posibles resultados numéricos están marcados en cada una de las caras del poliedro y se eligen tomando, normalmente, el resultado marcado en la cara que queda vista hacia arriba. El dado más convencional cuenta con seis caras por lo que la probabilidad de obtener un número (de los 6) es de 1 entre 6, es decir, 16,67%. Si lanzamos 2 dados de 6 caras será del 4,76%. En China y la India se jugaban los dedos de la mano a los dados.

Lotería[editar]

Artículo principal: Lotería

Su origen se remonta al siglo XV cuando los comerciantes genoveses idearon este sistema como estrategia de venta, al estar constituidos los premios por mercancías.

En un sorteo de un cupón, la probabilidad de que te toque depende, del número de billetes en juego, así como del número de series. Como ejemplo se pondrá el sorteo extraordinario de Navidad en España, donde se ponen en juego 170 series de 85.000 billetes, de los cuales 13.334 se llevan premio. La probabilidad de que nos toque el premio mayor con un solo cupón es de 1 entre 14 millones y medio (170 series x 85.000 billetes).La cuantía del premio a recibir no sólo depende de la probabilidad de acierto, sino también del porcentaje que se devuelva como premio de la cantidad jugada, que suele ser de un 70%.

Quiniela[editar]

Artículo principal: La Quiniela (España)

En cuanto a las quinielas, su acierto depende del número de posibilidades o posibles elecciones. Si hacemos una apuesta sencilla, tenemos que hacer frente a 3 elevado a la 14 de casos posibles, ya que en cada uno de los catorce partidos tenemos tres posibles resultados: 1, X, 2. Por lo tanto, hay que dividir nuestra apuesta (1) entre todas las posibilidades (3 a la 14), con lo que para llevarse el premio hay una probabilidad de 1 entre casi 5 millones. La diferencia con otras formas de apuestas es que aquí, además del azar, existe una mayor probabilidad de acierto, que depende de la diferencia entre los equipos de fútbol en juego.

Opcional: Si quieres ganar participaciones, realiza los siguientes ejercicios.

Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas, salgan:

1Dos caras

2Dos cruces

3Una cara y una cruz

2Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.

3Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas caras son proporcionales a los números de estas. Hallar:

1La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento

2La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento

4Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide:

1La probabilidad de que salga el 7

2La probabilidad de que el número obtenido sea par

3La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres

5Se lanzan tres dados. Encontrar la probabilidad de que:

1Salga 6 en todos

2Los puntos obtenidos sumen 7

6Busca la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga:

1Un número par

2Un múltiplo de tres

3Mayor que cuatro

7Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Describir el espacio muestral cuando:

1La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda

2La primera bola no se devuelve

8Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes. Se extrae una al azar de que:

1Sea roja

2Sea verde

3Sea amarilla

4No sea roja

5No sea amarilla

9Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dos bolas al azar. Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de:

1Extraer las dos bolas con reemplazamiento

2Sin reemplazamiento

10Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca?

Te  dejo el siguiente link para que repases más conceptos de probabilidad y te ejercites.

http://www.matemath.com/azar/